代数学準備例

$x^{2} - y^{2} = 21$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を $21$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = \frac{21}{21}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{21} - \frac{y^{2}}{21} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{21}$

$b = \sqrt{21}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{21^{1} + {(\sqrt{21})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{21 + {(\sqrt{21})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{21 + 21^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{21 + 21}$

ステップ 5.3.3

$21$ と $21$ をたし算します。

$\sqrt{42}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{21}, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{21}, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{42}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{42}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{21})}^{2} + {(\sqrt{21})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{21^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{21^{1} + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{21 + {\sqrt{21}}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.2

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{21 + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{21 + 21^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{21 + 21^{1}}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{21 + 21}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.1.3

$21$ と $21$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{21}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{42}$ と $\sqrt{21}$ を単一根にまとめます。

$\sqrt{\frac{42}{21}}$

ステップ 8.3.3

$42$ を $21$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{{\sqrt{21}}^{2}}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

${\sqrt{21}}^{2}$ を $21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{21}$ を $21^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{21^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{21^{1}}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{21}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3.2

$\frac{21}{\sqrt{42}}$ に $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ をかけます。

$\frac{21}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$

ステップ 9.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$\frac{21}{\sqrt{42}}$ に $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ をかけます。

$\frac{21 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

ステップ 9.3.3.2

$\sqrt{42}$ を $1$ 乗します。

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} \sqrt{42}}$

ステップ 9.3.3.3

$\sqrt{42}$ を $1$ 乗します。

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1} {\sqrt{42}}^{1}}$

ステップ 9.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{21 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6

${\sqrt{42}}^{2}$ を $42$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{42}$ を $42^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{21 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{21 \sqrt{42}}{42^{1}}$

ステップ 9.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{21 \sqrt{42}}{42}$

ステップ 9.3.4

$21$ と $42$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.1

$21$ を $21 \sqrt{42}$ で因数分解します。

$\frac{21 (\sqrt{42})}{42}$

ステップ 9.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.4.2.1

$21$ を $42$ で因数分解します。

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

ステップ 9.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{21 \sqrt{42}}{21 \cdot 2}$

ステップ 9.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{42}}{2}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

ステップ 11

$1 \cdot x + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$1 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot x$

ステップ 11.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = x$

ステップ 12

$- 1 \cdot x + 0$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$- 1 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = - 1 \cdot x$

ステップ 12.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x, y = - x$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(\sqrt{21}, 0), (- \sqrt{21}, 0)$

焦点： $(\sqrt{42}, 0), (- \sqrt{42}, 0)$

偏心： $\sqrt{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{42}}{2}$

漸近線： $y = x$ 、 $y = - x$

ステップ 15

代数学準備 例

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