代数学準備例

$x^{2} + 9 x - 12$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + 9 x - 12$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 9$

$c = - 12$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{9}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{9}{2}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 12 - \frac{9^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$9$ を $2$ 乗します。

$e = - 12 - \frac{81}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = - 12 - \frac{81}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$- 12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$e = - 12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$- 12$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{- 12 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 12 \cdot 4 - 81}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.5.1

$- 12$ に $4$ をかけます。

$e = \frac{- 48 - 81}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.5.2

$- 48$ から $81$ を引きます。

$e = \frac{- 129}{4}$

ステップ 1.1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{129}{4}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{9}{2})}^{2} - \frac{129}{4}$ に代入します。

${(x + \frac{9}{2})}^{2} - \frac{129}{4}$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = {(x + \frac{9}{2})}^{2} - \frac{129}{4}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 1$

$h = - \frac{9}{2}$

$k = - \frac{129}{4}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{9}{2}, - \frac{129}{4})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{9}{2}, - 32)$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - \frac{9}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{65}{2}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{9}{2}, - \frac{129}{4})$

焦点： $(- \frac{9}{2}, - 32)$

対称軸： $x = - \frac{9}{2}$

準線： $y = - \frac{65}{2}$

方向：上に開

頂点： $(- \frac{9}{2}, - \frac{129}{4})$

焦点： $(- \frac{9}{2}, - 32)$

対称軸： $x = - \frac{9}{2}$

準線： $y = - \frac{65}{2}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f (- 5) = {(- 5)}^{2} + 9 (- 5) - 12$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5) = 25 + 9 (- 5) - 12$

ステップ 2.2.1.2

$9$ に $- 5$ をかけます。

$f (- 5) = 25 - 45 - 12$

ステップ 2.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$25$ から $45$ を引きます。

$f (- 5) = - 20 - 12$

ステップ 2.2.2.2

$- 20$ から $12$ を引きます。

$f (- 5) = - 32$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 32$ です。

$- 32$

ステップ 2.3

$x = - 5$ における $y$ 値は $- 32$ です。

$y = - 32$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f (- 6) = {(- 6)}^{2} + 9 (- 6) - 12$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f (- 6) = 36 + 9 (- 6) - 12$

ステップ 2.5.1.2

$9$ に $- 6$ をかけます。

$f (- 6) = 36 - 54 - 12$

ステップ 2.5.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$36$ から $54$ を引きます。

$f (- 6) = - 18 - 12$

ステップ 2.5.2.2

$- 18$ から $12$ を引きます。

$f (- 6) = - 30$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $- 30$ です。

$- 30$

ステップ 2.6

$x = - 6$ における $y$ 値は $- 30$ です。

$y = - 30$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 9 (- 3) - 12$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f (- 3) = 9 + 9 (- 3) - 12$

ステップ 2.8.1.2

$9$ に $- 3$ をかけます。

$f (- 3) = 9 - 27 - 12$

ステップ 2.8.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$9$ から $27$ を引きます。

$f (- 3) = - 18 - 12$

ステップ 2.8.2.2

$- 18$ から $12$ を引きます。

$f (- 3) = - 30$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $- 30$ です。

$- 30$

ステップ 2.9

$x = - 3$ における $y$ 値は $- 30$ です。

$y = - 30$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 9 (- 2) - 12$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 4 + 9 (- 2) - 12$

ステップ 2.11.1.2

$9$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = 4 - 18 - 12$

ステップ 2.11.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$4$ から $18$ を引きます。

$f (- 2) = - 14 - 12$

ステップ 2.11.2.2

$- 14$ から $12$ を引きます。

$f (- 2) = - 26$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $- 26$ です。

$- 26$

ステップ 2.12

$x = - 2$ における $y$ 値は $- 26$ です。

$y = - 26$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 30 \\ - 5 & - 32 \\ - \frac{9}{2} & - \frac{129}{4} \\ - 3 & - 30 \\ - 2 & - 26 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{9}{2}, - \frac{129}{4})$

焦点： $(- \frac{9}{2}, - 32)$

対称軸： $x = - \frac{9}{2}$

準線： $y = - \frac{65}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 30 \\ - 5 & - 32 \\ - \frac{9}{2} & - \frac{129}{4} \\ - 3 & - 30 \\ - 2 & - 26 \end{array}$

ステップ 4

代数学準備 例

代数学準備例