代数学準備例

$x^{2} - 6 x - 6 < 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 6 x - 6 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = - 6$ 、および $c = - 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$36$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$36$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 5.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 3 + \sqrt{15}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$36$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm \sqrt{15}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 3 - \sqrt{15}$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 3 + \sqrt{15}, 3 - \sqrt{15}$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 3 - \sqrt{15}$

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$

$x > 3 + \sqrt{15}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < 3 - \sqrt{15}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < 3 - \sqrt{15}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{2} - 6 \cdot - 3 - 6 < 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $21$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.2

区間 $3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 6 \cdot 0 - 6 < 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.3

区間 $x > 3 + \sqrt{15}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > 3 + \sqrt{15}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 9$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $9$ で置き換えます。

${(9)}^{2} - 6 \cdot 9 - 6 < 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $21$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 3 - \sqrt{15}$ 偽

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ 真

$x > 3 + \sqrt{15}$ 偽

$x < 3 - \sqrt{15}$ 偽

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$ 真

$x > 3 + \sqrt{15}$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$3 - \sqrt{15} < x < 3 + \sqrt{15}$

ステップ 11

代数学準備 例

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