代数学準備例

$\frac{x - 13}{x - 20} > 3$

ステップ 1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 > 0$

ステップ 2

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 20}{x - 20}$ を掛けます。

$\frac{x - 13}{x - 20} - 3 \cdot \frac{x - 20}{x - 20} > 0$

ステップ 2.2

$- 3$ と $\frac{x - 20}{x - 20}$ をまとめます。

$\frac{x - 13}{x - 20} + \frac{- 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 13 - 3 (x - 20)}{x - 20} > 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 13 - 3 x - 3 \cdot - 20}{x - 20} > 0$

ステップ 2.4.2

$- 3$ に $- 20$ をかけます。

$\frac{x - 13 - 3 x + 60}{x - 20} > 0$

ステップ 2.4.3

$x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{- 2 x - 13 + 60}{x - 20} > 0$

ステップ 2.4.4

$- 13$ と $60$ をたし算します。

$\frac{- 2 x + 47}{x - 20} > 0$

ステップ 2.5

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) + 47}{x - 20} > 0$

ステップ 2.6

$47$ を $- 1 (- 47)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (- 47)}{x - 20} > 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 47)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

ステップ 2.8

$- (2 x - 47)$ を $- 1 (2 x - 47)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x - 47)}{x - 20} > 0$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x - 47}{x - 20} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$2 x - 47 = 0$

$x - 20 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $47$ を足します。

$2 x = 47$

ステップ 5

$2 x = 47$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x = 47$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{47}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{47}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺に $20$ を足します。

$x = 20$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \frac{47}{2}$

$x = 20$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = \frac{47}{2}, 20$

ステップ 9

$- \frac{2 x - 47}{x - 20}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{2 x - 47}{x - 20}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 20 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $20$ を足します。

$x = 20$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 20) \cup (20, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 20$

$20 < x < \frac{47}{2}$

$x > \frac{47}{2}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < 20$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < 20$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) - 13}{(0) - 20} > 3$

ステップ 11.1.3

左辺 $0.65$ は右辺 $3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $20 < x < \frac{47}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $20 < x < \frac{47}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 22$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $22$ で置き換えます。

$\frac{(22) - 13}{(22) - 20} > 3$

ステップ 11.2.3

左辺 $4.5$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $x > \frac{47}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > \frac{47}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 26$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $26$ で置き換えます。

$\frac{(26) - 13}{(26) - 20} > 3$

ステップ 11.3.3

左辺 $2.1\overline{6}$ は右辺 $3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 20$ 偽

$20 < x < \frac{47}{2}$ 真

$x > \frac{47}{2}$ 偽

$x < 20$ 偽

$20 < x < \frac{47}{2}$ 真

$x > \frac{47}{2}$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$20 < x < \frac{47}{2}$

ステップ 13

代数学準備 例

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