代数学準備例

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

変数を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $54$ を足します。

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

ステップ 1.1.2

方程式の両辺に $161$ を足します。

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

ステップ 1.1.3

$54$ と $161$ をたし算します。

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

ステップ 1.2

$16 x^{2} + 64 x$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$64$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $64$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{32}{16}$

ステップ 1.2.3.2.2

$32$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$16$ を $16$ で因数分解します。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$64$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4096$ を $64$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 64$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$- 1$ に $64$ をかけます。

$e = 0 - 64$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $64$ を引きます。

$e = - 64$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ に代入します。

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

ステップ 1.3

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$ を方程式 $16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ の中の $16 x^{2} + 64 x$ に代入します。

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

ステップ 1.4

両辺に $64$ を加えて、 $- 64$ を方程式の右辺に移動させます。

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

ステップ 1.5

$215$ と $64$ をたし算します。

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

ステップ 1.6

各項を $279$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

ステップ 1.7

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 2, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

積の法則を $3 \sqrt{31}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

${\sqrt{31}}^{2}$ を $31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{31}$ を $31^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

累乗根で指数を約分し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

$9$ に $31$ をかけます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

ステップ 5.3.3.3

${\sqrt{31}}^{2}$ を $31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{31}$ を $31^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

ステップ 5.3.3.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

ステップ 5.3.4

$31$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

ステップ 5.3.5

$31$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

ステップ 5.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

ステップ 5.3.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

$31$ に $16$ をかけます。

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

ステップ 5.3.7.2

$279$ と $496$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

ステップ 5.3.8

$\sqrt{\frac{775}{16}}$ を $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

ステップ 5.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

$775$ を $5^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1.1

$25$ を $775$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

ステップ 5.3.9.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

ステップ 5.3.9.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

ステップ 5.3.10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 5.3.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 8.3.2.1

積の法則を $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.2.2

積の法則を $3 \sqrt{31}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.3.2

${\sqrt{31}}^{2}$ を $31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{31}$ を $31^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4

累乗根で指数を約分し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4.2

$9$ に $31$ をかけます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4.3

${\sqrt{31}}^{2}$ を $31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{31}$ を $31^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.4.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.5

$31$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.6

$31$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.8.1

$31$ に $16$ をかけます。

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.8.2

$279$ と $496$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.9

$\sqrt{\frac{775}{16}}$ を $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.10.1

$775$ を $5^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.10.1.1

$25$ を $775$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.10.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.10.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.11

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.11.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.11.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.12

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.1

$\sqrt{31}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.1.1

$\sqrt{31}$ を $5 \sqrt{31}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

ステップ 8.3.12.1.2

$\sqrt{31}$ を $3 \sqrt{31}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

ステップ 8.3.12.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

ステップ 8.3.12.1.4

式を書き換えます。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

ステップ 8.3.12.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

ステップ 8.3.12.2.2

式を書き換えます。

$5 (\frac{1}{3})$

ステップ 8.3.12.3

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{5}{3}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

${\sqrt{31}}^{2}$ と $\sqrt{31}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$\sqrt{31}$ を ${\sqrt{31}}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

ステップ 9.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.2.1

$\sqrt{31}$ を $5 \sqrt{31}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

ステップ 9.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

ステップ 9.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

ステップ 9.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 9.3.3

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$\frac{\sqrt{31}}{5}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

ステップ 9.3.3.2

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

ステップ 11.2

$\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

ステップ 11.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

ステップ 11.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

ステップ 11.2.3

$\frac{4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

ステップ 11.2.4

$\frac{4}{3} \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

$\frac{4}{3}$ と $2$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

ステップ 11.2.4.2

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

ステップ 12.2

$- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

ステップ 12.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

ステップ 12.2.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

ステップ 12.2.3

$x$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

ステップ 12.2.4

$- \frac{4}{3} \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

ステップ 12.2.4.2

$- 2$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

ステップ 12.2.4.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

ステップ 12.2.5

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.5.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

ステップ 12.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 2, 0)$

頂点： $(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

焦点： $(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

偏心： $\frac{5}{3}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{31}}{20}$

漸近線： $y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ 、 $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

ステップ 15

代数学準備 例

代数学準備例