代数学準備例

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y + 203 = 0$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $203$ を引きます。

$18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$

ステップ 1.2

$18 x^{2} - 126 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 18$

$b = - 126$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 126}{2 \cdot 18}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$- 126$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 126$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 18$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 (18)}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 63}{2 \cdot 18}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 63}{18}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 63$ と $18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.1

$9$ を $- 63$ で因数分解します。

$d = \frac{9 (- 7)}{18}$

ステップ 1.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.2.2.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 7}{9 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 7}{2}$

ステップ 1.2.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{7}{2}$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 126)}^{2}}{4 \cdot 18}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 126$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{15876}{4 \cdot 18}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ に $18$ をかけます。

$e = 0 - \frac{15876}{72}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$15876$ と $72$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.1

$36$ を $15876$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{36 (441)}{72}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.1

$36$ を $72$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{36 \cdot 441}{36 \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{441}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ から $\frac{441}{2}$ を引きます。

$e = - \frac{441}{2}$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ に代入します。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$

ステップ 1.3

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2}$ を方程式 $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ の中の $18 x^{2} - 126 x$ に代入します。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{441}{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203$

ステップ 1.4

両辺に $\frac{441}{2}$ を加えて、 $- \frac{441}{2}$ を方程式の右辺に移動させます。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 y^{2} + 2 y = - 203 + \frac{441}{2}$

ステップ 1.5

$2 y^{2} + 2 y$ の平方完成。

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ステップ 1.5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 2$

$b = 2$

$c = 0$

ステップ 1.5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2}$

ステップ 1.5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1

$2^{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.2.1.1.2.1

$2$ を $4 \cdot 2$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

ステップ 1.5.4.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{1}{2}$

ステップ 1.5.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{2}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ に代入します。

$2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 1.6

$2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2}$ を方程式 $18 x^{2} + 2 y^{2} - 126 x + 2 y = - 203$ の中の $2 y^{2} + 2 y$ に代入します。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} = - 203 + \frac{441}{2}$

ステップ 1.7

両辺に $\frac{1}{2}$ を加えて、 $- \frac{1}{2}$ を方程式の右辺に移動させます。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 1.8

$- 203 + \frac{441}{2} + \frac{1}{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.8.1

公分母の分子をまとめます。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{441 + 1}{2}$

ステップ 1.8.2

式を簡約します。

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ステップ 1.8.2.1

$441$ と $1$ をたし算します。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + \frac{442}{2}$

ステップ 1.8.2.2

$442$ を $2$ で割ります。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = - 203 + 221$

ステップ 1.8.2.3

$- 203$ と $221$ をたし算します。

$18 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 18$

ステップ 1.9

各項を $18$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{18 {(x - \frac{7}{2})}^{2}}{18} + \frac{2 {(y + \frac{1}{2})}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

ステップ 1.10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{{(y + \frac{1}{2})}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = 3$

$b = 1$

$k = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{7}{2}$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 - {(1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{9 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{9 - 1}$

ステップ 5.3.4

$9$ から $1$ を引きます。

$\sqrt{8}$

ステップ 5.3.5

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (2)}$

ステップ 5.3.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 5.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 3)$

ステップ 6.3

簡約します。

$(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (3))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

ステップ 7.3

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - (2 \sqrt{2}))$

ステップ 7.5

簡約します。

$(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

ステップ 7.6

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(1)}^{2}}}{3}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{9 - 1^{2}}}{3}$

ステップ 8.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 1}}{3}$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{9 - 1}}{3}$

ステップ 8.3.4

$9$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sqrt{8}}{3}$

ステップ 8.3.5

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{3}$

ステップ 8.3.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

ステップ 8.3.6

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{7}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{7}{2}, - \frac{1}{2} - 2 \sqrt{2})$

偏心： $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

ステップ 10

代数学準備 例

代数学準備例