代数学準備例

$2 x^{2} - 14 x + 2 y^{2} + 16 y = - \frac{77}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を $2$ で割ります。

$x^{2} - 7 x + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$

ステップ 2

$x^{2} - 7 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{- 7}{2}$

ステップ 2.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{7}{2}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{49}{4}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{49}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{49}{4}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ に代入します。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

ステップ 3

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ を方程式 $x^{2} - 7 x + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$ の中の $x^{2} - 7 x$ に代入します。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$

ステップ 4

両辺に $\frac{49}{4}$ を加えて、 $- \frac{49}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4} + \frac{49}{4}$

ステップ 5

$y^{2} + 8 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{1}$

ステップ 5.3.2.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$d = 4$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

ステップ 5.4.2.1.3

$64$ を $4$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$e = 0 - 16$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$e = - 16$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + 4)}^{2} - 16$ に代入します。

${(y + 4)}^{2} - 16$

ステップ 6

${(y + 4)}^{2} - 16$ を方程式 $x^{2} - 7 x + y^{2} + 8 y = - \frac{77}{4}$ の中の $y^{2} + 8 y$ に代入します。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = - \frac{77}{4} + \frac{49}{4}$

ステップ 7

両辺に $16$ を加えて、 $- 16$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = - \frac{77}{4} + \frac{49}{4} + 16$

ステップ 8

$- \frac{77}{4} + \frac{49}{4} + 16$ を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16 + \frac{- 77 + 49}{4}$

ステップ 8.2

式を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 77$ と $49$ をたし算します。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16 + \frac{- 28}{4}$

ステップ 8.2.2

$- 28$ を $4$ で割ります。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 16 - 7$

ステップ 8.2.3

$16$ から $7$ を引きます。

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$

ステップ 9

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 10

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = 3$

$h = \frac{7}{2}$

$k = - 4$

ステップ 11

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(\frac{7}{2}, - 4)$

ステップ 12

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(\frac{7}{2}, - 4)$

半径： $3$

ステップ 13

代数学準備 例

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