代数学準備例

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

ステップ 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

ステップ 2

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ を $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ に書き換えます。

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

ステップ 3

$2 x - 3$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{2 x - 3})$ を展開します。

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

ステップ 4

括弧を削除します。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

ステップ 5

$\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ を $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ に書き換えます。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

ステップ 6

$x + 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x + 2})$ を展開します。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

ステップ 7

括弧を削除します。

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

ステップ 8

$x$ について不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

ステップ 8.1.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

ステップ 8.1.1.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

ステップ 8.1.1.4

分配則を当てはめます。

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

ステップ 8.1.2

$\ln (3)$ と $- 2 x \ln (5)$ を並べ替えます。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

ステップ 8.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

ステップ 8.2.1.3

分配則を当てはめます。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.2.2

$\ln (5)$ と $- x \ln (3)$ を並べ替えます。

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.3

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (5)$ を簡約します。

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.3.1.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.3.1.1.3

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (5)$ を簡約します。

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.3.1.1.4

$5$ を $3$ 乗します。

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.3.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.3.1.3

$3$ に $125$ をかけます。

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.3.1.4

$x (- \ln (25)) + \ln (375)$ の因数を並べ替えます。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

ステップ 8.4

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \ln (3)$ を簡約します。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

ステップ 8.4.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

ステップ 8.4.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

ステップ 8.5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

ステップ 8.6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

ステップ 8.7

各項を簡約します。

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ステップ 8.7.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

ステップ 8.7.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.7.2.1

$5$ を $375$ で因数分解します。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

ステップ 8.7.2.2

共通因数を約分します。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

ステップ 8.7.2.3

式を書き換えます。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

ステップ 8.7.3

$75$ に $9$ をかけます。

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

ステップ 8.8

方程式の両辺から $\ln (675)$ を引きます。

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

ステップ 8.9

$x$ を $- x \ln (25) + x \ln (3)$ で因数分解します。

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ステップ 8.9.1

$x$ を $- x \ln (25)$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

ステップ 8.9.2

$x$ を $x \ln (3)$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

ステップ 8.9.3

$x$ を $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ で因数分解します。

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

ステップ 8.10

$- 1 \ln (25)$ を $- \ln (25)$ に書き換えます。

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

ステップ 8.11

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ の各項を $- \ln (25) + \ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.11.1

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ の各項を $- \ln (25) + \ln (3)$ で割ります。

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

ステップ 8.11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.11.2.1

$- \ln (25) + \ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.11.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

ステップ 8.11.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

ステップ 8.11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.11.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

ステップ 8.11.3.2

$- 1$ を $- \ln (25)$ で因数分解します。

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

ステップ 8.11.3.3

$- 1$ を $\ln (3)$ で因数分解します。

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

ステップ 8.11.3.4

$- 1$ を $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ で因数分解します。

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

ステップ 8.11.3.5

式を簡約します。

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ステップ 8.11.3.5.1

$- (\ln (25) - \ln (3))$ を $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ に書き換えます。

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

ステップ 8.11.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

ステップ 8.11.3.5.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

ステップ 8.11.3.5.4

$\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

ステップ 10

代数学準備 例

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