代数学準備例

$5 x^{2} - 5 y^{2} - 6$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$5 x^{2} - 5 y^{2} = 6$

ステップ 1.2

各項を $6$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{5 x^{2}}{6} - \frac{5 y^{2}}{6} = \frac{6}{6}$

ステップ 1.3

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{6}{5}} - \frac{y^{2}}{\frac{6}{5}} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$b = \frac{\sqrt{30}}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt{30}}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

$30$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}$

ステップ 5.3.5

積の法則を $\frac{\sqrt{30}}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.6

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.6.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}}$

ステップ 5.3.7

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}}$

ステップ 5.3.8

$30$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}}$

ステップ 5.3.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

ステップ 5.3.8.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}}$

ステップ 5.3.8.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}}$

ステップ 5.3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.9.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}}$

ステップ 5.3.9.2

$6$ と $6$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{12}{5}}$

ステップ 5.3.10

$\sqrt{\frac{12}{5}}$ を $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.3.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.11.1

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.11.1.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.3.11.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.3.11.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.3.12

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.3.13

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.13.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.13.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 5.3.13.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 5.3.13.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.3.13.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 5.3.13.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.13.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.13.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.13.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.13.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.13.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.13.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 5.3.13.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 5.3.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.14.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 3}}{5}$

ステップ 5.3.14.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}}}{\frac{\sqrt{30}}{5}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{\sqrt{30}}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{30^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{30}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.4

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{30}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.5

$30$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{5 (6)}{25} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.5.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.5.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + {(\frac{\sqrt{30}}{5})}^{2}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.6

積の法則を $\frac{\sqrt{30}}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{\sqrt{30}}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.7

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.7.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30^{1}}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.7.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{5^{2}}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.8

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{30}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.9

$30$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.1

$5$ を $30$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 (6)}{25}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.9.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{6}{5} + \frac{6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.10.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{6 + 6}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.10.2

$6$ と $6$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{12}{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.11

$\sqrt{\frac{12}{5}}$ を $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.1

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.12.1.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.12.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.12.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.13

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.14.1

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.14.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.14.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.14.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.15

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.15.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.15.2

式を書き換えます。

$2 \sqrt{3} \sqrt{5} \frac{1}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.16

根の積の法則を使ってまとめます。

$2 \sqrt{5 \cdot 3} \frac{1}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.17

$5$ に $3$ をかけます。

$2 \sqrt{15} \frac{1}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.18

$\frac{1}{\sqrt{30}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{\sqrt{30}} \sqrt{15}$

ステップ 8.3.19

$\frac{2}{\sqrt{30}}$ と $\sqrt{15}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{15}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.20

$\sqrt{15}$ と $\sqrt{30}$ を単一根にまとめます。

$2 \sqrt{\frac{15}{30}}$

ステップ 8.3.21

$15$ と $30$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.21.1

$15$ を $15$ で因数分解します。

$2 \sqrt{\frac{15 (1)}{30}}$

ステップ 8.3.21.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.21.2.1

$15$ を $30$ で因数分解します。

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

ステップ 8.3.21.2.2

共通因数を約分します。

$2 \sqrt{\frac{15 \cdot 1}{15 \cdot 2}}$

ステップ 8.3.21.2.3

式を書き換えます。

$2 \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 8.3.22

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.23

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$2 \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.24

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$2 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

ステップ 8.3.25

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.25.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.25.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.25.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 8.3.25.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.25.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 8.3.25.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.25.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.25.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.25.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.25.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.25.6.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.25.6.4.2

式を書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 8.3.25.6.5

指数を求めます。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.26

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.26.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.26.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}}}{5}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}}}{2 \sqrt{15}} \cdot \frac{1}{5}$

ステップ 9.3.2

まとめる。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{5^{2}} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

ステップ 9.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot 1}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

ステップ 9.3.3.2

$\frac{\sqrt{30}}{25}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{2 \sqrt{15} \cdot 5}$

ステップ 9.3.3.3

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{\sqrt{30}}{25}}{10 \sqrt{15}}$

ステップ 9.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{1}{10 \sqrt{15}}$

ステップ 9.3.5

$\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} (\frac{1}{10 \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}})$

ステップ 9.3.6

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.6.1

$\frac{1}{10 \sqrt{15}}$ に $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \sqrt{15} \sqrt{15}}$

ステップ 9.3.6.2

$\sqrt{15}$ を移動させます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 (\sqrt{15} \sqrt{15})}$

ステップ 9.3.6.3

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}$

ステップ 9.3.6.4

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}$

ステップ 9.3.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 9.3.6.7

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.6.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.6.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.6.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.6.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.6.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15^{1}}$

ステップ 9.3.6.7.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{10 \cdot 15}$

ステップ 9.3.7

$10$ に $15$ をかけます。

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$

ステップ 9.3.8

$\frac{\sqrt{30}}{25} \cdot \frac{\sqrt{15}}{150}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.8.1

$\frac{\sqrt{30}}{25}$ に $\frac{\sqrt{15}}{150}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{30} \sqrt{15}}{25 \cdot 150}$

ステップ 9.3.8.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{30 \cdot 15}}{25 \cdot 150}$

ステップ 9.3.8.3

$30$ に $15$ をかけます。

$\frac{\sqrt{450}}{25 \cdot 150}$

ステップ 9.3.8.4

$25$ に $150$ をかけます。

$\frac{\sqrt{450}}{3750}$

ステップ 9.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.9.1

$450$ を $15^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.9.1.1

$225$ を $450$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{225 (2)}}{3750}$

ステップ 9.3.9.1.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 2}}{3750}$

ステップ 9.3.9.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{15 \sqrt{2}}{3750}$

ステップ 9.3.10

$15$ と $3750$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.1

$15$ を $15 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{15 (\sqrt{2})}{3750}$

ステップ 9.3.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.10.2.1

$15$ を $3750$ で因数分解します。

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

ステップ 9.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{15 \sqrt{2}}{15 \cdot 250}$

ステップ 9.3.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{250}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

ステップ 11

$1 \cdot x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$1 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot x$

ステップ 11.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = x$

ステップ 12

$- 1 \cdot x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- 1 \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$y = - 1 \cdot x$

ステップ 12.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y = - x$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x, y = - x$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(\frac{\sqrt{30}}{5}, 0), (- \frac{\sqrt{30}}{5}, 0)$

焦点： $(\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0), (- \frac{2 \sqrt{15}}{5}, 0)$

偏心： $\sqrt{2}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{2}}{250}$

漸近線： $y = x$ 、 $y = - x$

ステップ 15

代数学準備 例

代数学準備例