代数学準備例

$x (7 - x) > 8$

ステップ 1

$x (7 - x)$ を簡約します。

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ステップ 1.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot 7 + x (- x) > 8$

ステップ 1.1.2

並べ替えます。

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ステップ 1.1.2.1

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$7 \cdot x + x (- x) > 8$

ステップ 1.1.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 \cdot x - x \cdot x > 8$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x$ を移動させます。

$7 x - (x \cdot x) > 8$

ステップ 1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$7 x - x^{2} > 8$

ステップ 2

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$7 x - x^{2} - 8 > 0$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$7 x - x^{2} - 8 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = - 1$ 、 $b = 7$ 、および $c = - 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.1.2.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.1.3

$49$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

ステップ 6.3

$\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.1.2.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.1.3

$49$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

ステップ 7.3

$\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

ステップ 7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

ステップ 8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ を掛けます。

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ステップ 8.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.1.2.2

$4$ に $- 8$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.1.3

$49$ から $32$ を引きます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$

ステップ 8.3

$\frac{- 7 \pm \sqrt{17}}{- 2}$ を簡約します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$

ステップ 8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}, \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(0) (7 - (0)) > 8$

ステップ 11.1.3

左辺 $0$ は右辺 $8$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(4) (7 - (4)) > 8$

ステップ 11.2.3

左辺 $12$ は右辺 $8$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$(8) (7 - (8)) > 8$

ステップ 11.3.3

左辺 $- 8$ は右辺 $8$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ 偽

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ 真

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ 偽

$x < \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$ 偽

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ 真

$x > \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{7 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

ステップ 13

代数学準備 例

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