代数学準備例

$y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$

ステップ 1

漸近線を求めます。

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ステップ 1.1

任意の $y = \csc (x)$ について、垂直漸近線が $x = n π$ で発生します。ここで $n$ は整数です。 $y = c s c (x)$ の基本周期 $(0, 2 π)$ を使って、 $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ の垂直漸近線を求めます。 $y = a \csc (b x + c) + d$ の余割関数の内側 $b x + c$ を $0$ と等しくし、 $y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ の垂直漸近線が発生する場所を求めます。

$3 x - \frac{π}{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$3 x = \frac{π}{2}$

ステップ 1.2.2

$3 x = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$3 x = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 1.2.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.2.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 1.3

余割関数 $3 x - \frac{π}{2}$ の中を $2 π$ と等しくします。

$3 x - \frac{π}{2} = 2 π$

ステップ 1.4

$x$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.4.1.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$3 x = 2 π + \frac{π}{2}$

ステップ 1.4.1.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 1.4.1.3

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 1.4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{2 π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 1.4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$3 x = \frac{4 π + π}{2}$

ステップ 1.4.1.5.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$3 x = \frac{5 π}{2}$

ステップ 1.4.2

$3 x = \frac{5 π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$3 x = \frac{5 π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

ステップ 1.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

ステップ 1.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 1.4.2.3.2

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.2.3.2.1

$\frac{5 π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.4.2.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 1.5

$y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ の基本周期は $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ で発生し、ここで $\frac{π}{6}$ と $\frac{5 π}{6}$ は垂直漸近線です。

$(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$

ステップ 1.6

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 1.7

$y = 5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ の垂直漸近線は $\frac{π}{6}$ 、 $\frac{5 π}{6}$ 、およびすべての $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ で発生し、ここで $n$ は整数です。これは期間の半分です。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$

ステップ 1.8

余割のみに垂直漸近線があります。

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線がありません

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$

ステップ 2

式 $a \csc (b x - c) + d$ を利用して振幅、周期、位相シフト、垂直偏移を求めるための変数を求めます。

$a = 5$

$b = 3$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 0$

ステップ 3

関数 $c s c$ のグラフに最大値や最小値がないので、偏角の値はありません。

偏角：なし

ステップ 4

$5 \csc (3 x - \frac{π}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 4.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 4.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 5

公式 $\frac{c}{b}$ を利用して位相シフトを求めます。

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ステップ 5.1

関数の位相シフトは $\frac{c}{b}$ から求めることができます。

位相シフト： $\frac{c}{b}$

ステップ 5.2

位相シフトの方程式の $c$ と $b$ の値を置き換えます。

位相シフト： $\frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

位相シフト： $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.4

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

位相シフト： $\frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

位相シフト： $\frac{π}{6}$

ステップ 6

三角関数の特性を記載します。

偏角：なし

周期： $\frac{2 π}{3}$

位相シフト： $\frac{π}{6}$ （ $\frac{π}{6}$ の右）

垂直偏移：なし

ステップ 7

偏角、周期、位相シフト、垂直偏移、および点を使用して三角関数をグラフに描くことができます。

垂直漸近線： $n$ が整数である $x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$

偏角：なし

周期： $\frac{2 π}{3}$

位相シフト： $\frac{π}{6}$ （ $\frac{π}{6}$ の右）

垂直偏移：なし

ステップ 8

代数学準備 例

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