代数学準備例

$\frac{z^{2}}{4} = \frac{z}{5} + \frac{9}{20}$

ステップ 1

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{z^{2}}{4} \cdot 4 = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{z^{2}}{4} \cdot 4 = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$z^{2} = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$(\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$z^{2} = \frac{z}{5} \cdot 4 + \frac{9}{20} \cdot 4$

ステップ 2.2.1.1.2

$\frac{z}{5}$ と $4$ をまとめます。

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{20} \cdot 4$

ステップ 2.2.1.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.3.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{4 (5)} \cdot 4$

ステップ 2.2.1.1.3.2

共通因数を約分します。

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{4 \cdot 5} \cdot 4$

ステップ 2.2.1.1.3.3

式を書き換えます。

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{5}$

ステップ 2.2.1.2

$4$ を $z$ の左に移動させます。

$z^{2} = \frac{4 z}{5} + \frac{9}{5}$

ステップ 3

$z$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\frac{4 z}{5}$ を引きます。

$z^{2} - \frac{4 z}{5} = \frac{9}{5}$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $\frac{9}{5}$ を引きます。

$z^{2} - \frac{4 z}{5} - \frac{9}{5} = 0$

ステップ 3.3

両辺に最小公分母 $5$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$5 z^{2} + 5 (- \frac{4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1

$- \frac{4 z}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 z^{2} + 5 (\frac{- 4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$5 z^{2} + 5 (\frac{- 4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

ステップ 3.3.2.1.3

式を書き換えます。

$5 z^{2} - 4 z + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

ステップ 3.3.2.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$- \frac{9}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 z^{2} - 4 z + 5 (\frac{- 9}{5}) = 0$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$5 z^{2} - 4 z + 5 (\frac{- 9}{5}) = 0$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$5 z^{2} - 4 z - 9 = 0$

ステップ 3.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5

$a = 5$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $z$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 9)}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 20$ に $- 9$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.6.1.3

$16$ と $180$ をたし算します。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.6.1.4

$196$ を $14^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.6.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $5$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

ステップ 3.6.3

$\frac{4 \pm 14}{10}$ を簡約します。

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 20$ に $- 9$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.7.1.3

$16$ と $180$ をたし算します。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.7.1.4

$196$ を $14^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.7.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $5$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

ステップ 3.7.3

$\frac{4 \pm 14}{10}$ を簡約します。

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$z = \frac{2 + 7}{5}$

ステップ 3.7.5

$2$ と $7$ をたし算します。

$z = \frac{9}{5}$

ステップ 3.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.8.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.8.1.2

$- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ を掛けます。

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ステップ 3.8.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.8.1.2.2

$- 20$ に $- 9$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.8.1.3

$16$ と $180$ をたし算します。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.8.1.4

$196$ を $14^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.8.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

ステップ 3.8.2

$2$ に $5$ をかけます。

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

ステップ 3.8.3

$\frac{4 \pm 14}{10}$ を簡約します。

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

ステップ 3.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$z = \frac{2 - 7}{5}$

ステップ 3.8.5

$2$ から $7$ を引きます。

$z = \frac{- 5}{5}$

ステップ 3.8.6

$- 5$ を $5$ で割ります。

$z = - 1$

ステップ 3.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$z = \frac{9}{5}, - 1$

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