代数学準備例

$\frac{x^{2}}{50^{2}} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$50$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

ステップ 1.2

$20$ を $2$ 乗します。

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{400} = 1$

ステップ 2

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{2500}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{400} = 1 - \frac{x^{2}}{2500}$

ステップ 3

方程式の両辺に $400$ を掛けます。

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$400$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 400 \cdot 1 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

ステップ 4.2.1.2

$400$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 400 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

ステップ 4.2.1.3

$100$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{2500}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 400 + 400 \frac{- x^{2}}{2500}$

ステップ 4.2.1.3.2

$100$ を $400$ で因数分解します。

$y^{2} = 400 + 100 (4) \frac{- x^{2}}{2500}$

ステップ 4.2.1.3.3

$100$ を $2500$ で因数分解します。

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

ステップ 4.2.1.3.4

共通因数を約分します。

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

ステップ 4.2.1.3.5

式を書き換えます。

$y^{2} = 400 + 4 \frac{- x^{2}}{25}$

ステップ 4.2.1.4

$4$ と $\frac{- x^{2}}{25}$ をまとめます。

$y^{2} = 400 + \frac{4 (- x^{2})}{25}$

ステップ 4.2.1.5

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y^{2} = 400 + \frac{- 4 x^{2}}{25}$

ステップ 4.2.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 400 - \frac{4 x^{2}}{25}$

ステップ 5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$

ステップ 6

$\pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$ を簡約します。

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ステップ 6.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 6.1.1

$400$ を $20^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{20^{2} - \frac{4 x^{2}}{25}}$

ステップ 6.1.2

$\frac{4 x^{2}}{25}$ を ${(\frac{2 x}{5})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{20^{2} - {(\frac{2 x}{5})}^{2}}$

ステップ 6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 20$ であり、 $b = \frac{2 x}{5}$ です。

$y = \pm \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 8

$20$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 9

$20$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 10

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 11

分子を簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ を $20 \cdot 5 + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 11.1.1

$2$ を $20 \cdot 5$ で因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 11.1.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 11.1.3

$2$ を $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ で因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 11.2

$10$ に $5$ をかけます。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 12

$20$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 13

$20$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 15

分子を簡約します。

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ステップ 15.1

$2$ を $20 \cdot 5 - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 15.1.1

$2$ を $20 \cdot 5$ で因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 15.1.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 15.1.3

$2$ を $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 15.2

$10$ に $5$ をかけます。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 16

$\frac{2 (50 + x)}{5}$ に $\frac{2 (50 - x)}{5}$ をかけます。

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 17

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 18

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 19

$\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ を ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 19.1

$4 (50 + x) (50 - x)$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 19.2

$25$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 19.3

分数 $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 20

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 21

$\frac{2}{5}$ と $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ をまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 22

$20$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 23

$20$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 24

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 25

分子を簡約します。

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ステップ 25.1

$2$ を $20 \cdot 5 + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 25.1.1

$2$ を $20 \cdot 5$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 25.1.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 25.1.3

$2$ を $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 25.2

$10$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 26

$20$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 27

$20$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

ステップ 28

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

ステップ 29

分子を簡約します。

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ステップ 29.1

$2$ を $20 \cdot 5 - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 29.1.1

$2$ を $20 \cdot 5$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

ステップ 29.1.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

ステップ 29.1.3

$2$ を $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

ステップ 29.2

$10$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

ステップ 30

$\frac{2 (50 + x)}{5}$ に $\frac{2 (50 - x)}{5}$ をかけます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

ステップ 31

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

ステップ 32

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

ステップ 33

$\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ を ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 33.1

$4 (50 + x) (50 - x)$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

ステップ 33.2

$25$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

ステップ 33.3

分数 $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

ステップ 34

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - (\frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)})$

ステップ 35

$\frac{2}{5}$ と $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ をまとめます。

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

ステップ 36

与えられた方程式 $y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}, - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$ は $y = k x^{2}$ として書くことができません。そのため、 $y$ は $x^{2}$ と直接変化しません。

$y$ は $x$ と正比例しません

代数学準備 例

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