代数学準備例

$36 x^{2} + 81 y^{2} + 504 x - 324 y - 828 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 81$ 、 $b = - 324$ 、および $c = 36 x^{2} + 504 x - 828$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{324 \pm \sqrt{{(- 324)}^{2} - 4 \cdot (81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828))}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 324$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.2

$- 4$ に $81$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$36$ に $- 324$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.4.2

$504$ に $- 324$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.4.3

$- 324$ に $- 828$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.5

$104976$ と $268272$ をたし算します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6

因数分解した形で $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$11664$ を $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1.1

$11664$ を $- 11664 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.1.2

$11664$ を $- 163296 x$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.1.3

$11664$ を $373248$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.1.4

$11664$ を $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.1.5

$11664$ を $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ で和が $b = - 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.2.1.1

$- 14$ を $- 14 x$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.2.1.2

$- 14$ を $2$ プラス $- 16$ に書き換える

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.6.2.3

最大公約数 $- x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.7

$11664 (- x + 2) (x + 16)$ を $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1

$11664$ を $108^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.7.3

括弧を付けます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.1.9

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 3.2

$2$ に $81$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

ステップ 3.3

$\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ を簡約します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 324$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ に $81$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$36$ に $- 324$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.4.2

$504$ に $- 324$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.4.3

$- 324$ に $- 828$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.5

$104976$ と $268272$ をたし算します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6

因数分解した形で $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$11664$ を $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1.1

$11664$ を $- 11664 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.1.2

$11664$ を $- 163296 x$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.1.3

$11664$ を $373248$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.1.4

$11664$ を $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.1.5

$11664$ を $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ で和が $b = - 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.1.1

$- 14$ を $- 14 x$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.2.1.2

$- 14$ を $2$ プラス $- 16$ に書き換える

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.6.2.3

最大公約数 $- x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.7

$11664 (- x + 2) (x + 16)$ を $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$11664$ を $108^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.7.3

括弧を付けます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.1.9

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 4.2

$2$ に $81$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

ステップ 4.3

$\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ を簡約します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

ステップ 4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

ステップ 4.5

$2$ を $6 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

ステップ 4.5.2

$2$ を $2 \cdot 3 + 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 324$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 4 \cdot 81 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.2

$- 4$ に $81$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 \cdot (36 x^{2} + 504 x - 828)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 324 (36 x^{2}) - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$36$ に $- 324$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 324 (504 x) - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.4.2

$504$ に $- 324$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x - 324 \cdot - 828}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.4.3

$- 324$ に $- 828$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{104976 - 11664 x^{2} - 163296 x + 268272}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.5

$104976$ と $268272$ をたし算します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6

因数分解した形で $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$11664$ を $- 11664 x^{2} - 163296 x + 373248$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1.1

$11664$ を $- 11664 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) - 163296 x + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.1.2

$11664$ を $- 163296 x$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 373248}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.1.3

$11664$ を $373248$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.1.4

$11664$ を $11664 (- x^{2}) + 11664 (- 14 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.1.5

$11664$ を $11664 (- x^{2} - 14 x) + 11664 (32)$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 32 = - 32$ で和が $b = - 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1.1

$- 14$ を $- 14 x$ で因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} - 14 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.2.1.2

$- 14$ を $2$ プラス $- 16$ に書き換える

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + (2 - 16) x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x^{2} + 2 x - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x^{2} + 2 x) - 16 x + 32)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (x (- x + 2) + 16 (- x + 2))}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.6.2.3

最大公約数 $- x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 ((- x + 2) (x + 16))}}{2 \cdot 81}$

$y = \frac{324 \pm \sqrt{11664 (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.7

$11664 (- x + 2) (x + 16)$ を $108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$11664$ を $108^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} (- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.7.3

括弧を付けます。

$y = \frac{324 \pm \sqrt{108^{2} ((- x + 2) (x + 4^{2}))}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 4^{2})}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.1.9

$4$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{2 \cdot 81}$

ステップ 5.2

$2$ に $81$ をかけます。

$y = \frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$

ステップ 5.3

$\frac{324 \pm 108 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{162}$ を簡約します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

ステップ 5.5

$2$ を $6 - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (3) - 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}}{3}$

ステップ 5.5.2

$2$ を $- 2 \sqrt{(- x + 2) (x + 16)}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

ステップ 5.5.3

$2$ を $2 (3) + 2 (- \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

$y = \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$

ステップ 7

与えられた方程式 $y = \frac{2 (3 + \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}, \frac{2 (3 - \sqrt{(- x + 2) (x + 16)})}{3}$ は $y = k x^{2}$ として書くことができません。そのため、 $y$ は $x^{2}$ と直接変化しません。

$y$ は $x$ と正比例しません

代数学準備 例

代数学準備例