代数学準備例

$\frac{x}{x^{2} - 16} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} = 16$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 4, - 4$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 0, 4, - 4$

ステップ 8

$\frac{x}{x^{2} - 16}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{x}{x^{2} - 16}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 16 = 0$

ステップ 8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} = 16$

ステップ 8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 8.2.3

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 8.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 8.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 8.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 8.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 8.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} - 16} \leq 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 0.3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- 4 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 4 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 16} \leq 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $0.1\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 16} \leq 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 0.1\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{6}{{(6)}^{2} - 16} \leq 0$

ステップ 10.4.3

左辺 $0.3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 偽

$0 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $0 \leq x < 4$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - 4 or 0 \leq x < 4$

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup [0, 4)$

ステップ 13

代数学準備 例

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