代数学準備例

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

ステップ 1

$x (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$0 + 0 + x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

ステップ 1.2

0を加えて簡約します。

$x (x - 2) \leq x (2 x + 6)$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

ステップ 1.4

式を簡約します。

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ステップ 1.4.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 2 \leq x (2 x + 6)$

ステップ 1.4.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x + 6)$

ステップ 2

$x (2 x + 6)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 2 x \leq x (2 x) + x \cdot 6$

ステップ 2.1.2

並べ替えます。

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ステップ 2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + x \cdot 6$

ステップ 2.1.2.2

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 2 x \leq 2 x \cdot x + 6 \cdot x$

ステップ 2.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} - 2 x \leq 2 (x \cdot x) + 6 \cdot x$

ステップ 2.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 \cdot x$

$x^{2} - 2 x \leq 2 x^{2} + 6 x$

ステップ 3

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1

不等式の両辺から $2 x^{2}$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} \leq 6 x$

ステップ 3.2

不等式の両辺から $6 x$ を引きます。

$x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 6 x \leq 0$

ステップ 3.3

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- x^{2} - 2 x - 6 x \leq 0$

ステップ 3.4

$- 2 x$ から $6 x$ を引きます。

$- x^{2} - 8 x \leq 0$

ステップ 4

不等式を方程式に変換します。

$- x^{2} - 8 x = 0$

ステップ 5

$- x$ を $- x^{2} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$- x$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- x \cdot x - 8 x = 0$

ステップ 5.2

$- x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x - x \cdot 8 = 0$

ステップ 5.3

$- x$ を $- x (x) - x (8)$ で因数分解します。

$- x (x + 8) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 7

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 8

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 9

最終解は $- x (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 8$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 8$

$- 8 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$(- 10) ((- 10) - 2) \leq (- 10) (2 (- 10) + 6)$

ステップ 11.1.3

左辺 $120$ は右辺 $140$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.2

区間 $- 8 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 8 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$(- 4) ((- 4) - 2) \leq (- 4) (2 (- 4) + 6)$

ステップ 11.2.3

左辺 $24$ は右辺 $8$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$(2) ((2) - 2) \leq (2) (2 (2) + 6)$

ステップ 11.3.3

左辺 $0$ は右辺 $20$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 8$ 真

$- 8 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

$x < - 8$ 真

$- 8 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 8$ または $x \geq 0$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x \leq - 8 or x \geq 0$

区間記号：

$(- \infty, - 8] \cup [0, \infty)$

ステップ 14

代数学準備 例

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