代数学準備例

$(2, - 2)$ , $(- 2, 3)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 2 - 2 \cdot 3$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 - 2 \cdot 3$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $3$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 - 6$

ステップ 2.2.2

$- 4$ から $6$ を引きます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 4}$

ステップ 3.2.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{8}$

ステップ 3.2.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 (2)}$

ステップ 3.2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 3.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 2 \sqrt{2}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 3^{2}}$

ステップ 4.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

ステップ 4.2.3

$4$ と $9$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- 10}{2 \sqrt{2} \sqrt{13}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 \sqrt{2} \sqrt{13}})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$2$ を $2 \sqrt{2} \sqrt{13}$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{2} \sqrt{13})})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{2} \sqrt{13})})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{2} \sqrt{13}})$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{2 \cdot 13}})$

ステップ 6.2.2

$2$ に $13$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{26}})$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{5}{\sqrt{26}})$

ステップ 6.4

$\frac{5}{\sqrt{26}}$ に $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- (\frac{5}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}))$

ステップ 6.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.5.1

$\frac{5}{\sqrt{26}}$ に $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}})$

ステップ 6.5.2

$\sqrt{26}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}})$

ステップ 6.5.3

$\sqrt{26}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}})$

ステップ 6.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}})$

ステップ 6.5.6

${\sqrt{26}}^{2}$ を $26$ に書き換えます。

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ステップ 6.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{26}$ を $26^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.5.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{26^{1}})$

ステップ 6.5.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$

ステップ 6.6

$\arccos (- \frac{5 \sqrt{26}}{26})$ の値を求めます。

$θ = 168.69006752$

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