代数学準備例

$(4, 3)$ , $(- 1, 6)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot - 1 + 3 \cdot 6$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3 \cdot 6$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $6$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 18$

ステップ 2.2.2

$- 4$ と $18$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 14$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + 3^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

ステップ 3.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 9}$

ステップ 3.2.3

$16$ と $9$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

ステップ 3.2.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 3.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 5$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 6^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 6^{2}}$

ステップ 4.2.2

$6$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 36}$

ステップ 4.2.3

$1$ と $36$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{37}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ に $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{14}{5 \sqrt{37}} \cdot \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}})$

ステップ 6.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{14}{5 \sqrt{37}}$ に $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{37}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \sqrt{37} \sqrt{37}})$

ステップ 6.2.2

$\sqrt{37}$ を移動させます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 (\sqrt{37} \sqrt{37})})$

ステップ 6.2.3

$\sqrt{37}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} \sqrt{37})})$

ステップ 6.2.4

$\sqrt{37}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 ({\sqrt{37}}^{1} {\sqrt{37}}^{1})})$

ステップ 6.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {\sqrt{37}}^{2}})$

ステップ 6.2.7

${\sqrt{37}}^{2}$ を $37$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{37}$ を $37^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 {(37^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.2.7.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37^{1}})$

ステップ 6.2.7.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{5 \cdot 37})$

ステップ 6.3

$5$ に $37$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$

ステップ 6.4

$\arccos (\frac{14 \sqrt{37}}{185})$ の値を求めます。

$θ = 62.59242456$

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