代数学準備例

$(4, - 2)$ , $(5, - 5)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 \cdot 5 - 2 \cdot - 5$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$4$ に $5$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 20 - 2 \cdot - 5$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 20 + 10$

ステップ 2.2.2

$20$ と $10$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 30$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{16 + 4}$

ステップ 3.2.3

$16$ と $4$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{20}$

ステップ 3.2.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

ステップ 3.2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

ステップ 3.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 2 \sqrt{5}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + {(- 5)}^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 25}$

ステップ 4.2.3

$25$ と $25$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

ステップ 4.2.4

$50$ を $5^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

ステップ 4.2.4.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{30}{2 \sqrt{5} (5 \sqrt{2})})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$30$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 15}{2 \sqrt{5} (5 \sqrt{2})})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$2$ を $2 \sqrt{5} (5 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 15}{2 (\sqrt{5} (5 \sqrt{2}))})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 15}{2 (\sqrt{5} (5 \sqrt{2}))})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{15}{\sqrt{5} (5 \sqrt{2})})$

ステップ 6.2

$15$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 3}{\sqrt{5} (5 \sqrt{2})})$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$5$ を $\sqrt{5} (5 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 3}{5 (\sqrt{5} (\sqrt{2}))})$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 3}{5 (\sqrt{5} (\sqrt{2}))})$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{5} (\sqrt{2})})$

ステップ 6.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{5 \cdot 2}})$

ステップ 6.3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{10}})$

ステップ 6.4

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

ステップ 6.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$\frac{3}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}})$

ステップ 6.5.2

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

ステップ 6.5.3

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

ステップ 6.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}})$

ステップ 6.5.6

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.5.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{10^{1}})$

ステップ 6.5.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{10})$

ステップ 6.6

$\arccos (\frac{3 \sqrt{10}}{10})$ の値を求めます。

$θ = 18.43494882$

代数学準備 例

代数学準備例