代数学準備例

$(- 1, - 5)$ , $(- 1, 0)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - - 1 - 5 \cdot 0$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - 5 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 5$ に $0$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + 0$

ステップ 2.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 5)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(- 5)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 25}$

ステップ 3.2.3

$1$ と $25$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{26}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 0^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 0^{2}}$

ステップ 4.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 0}$

ステップ 4.2.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{1}$

ステップ 4.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| b⃗ | = 1$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26} \cdot 1})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26} \cdot 1})$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26}})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{\sqrt{26}}$ に $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}})$

ステップ 6.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{\sqrt{26}}$ に $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26} \sqrt{26}})$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{26}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26}})$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{26}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1}})$

ステップ 6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{\sqrt{26}}^{2}})$

ステップ 6.3.6

${\sqrt{26}}^{2}$ を $26$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{26}$ を $26^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{{(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26^{1}})$

ステップ 6.3.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{26}}{26})$

ステップ 6.4

$\arccos (\frac{\sqrt{26}}{26})$ の値を求めます。

$θ = 78.69006752$

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