代数学準備例

$(\frac{1}{5}, 3)$ , $(\frac{1}{5}, 0)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot 0$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{5 \cdot 5} + 3 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.1.2

$5$ に $5$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 3 \cdot 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25} + 0$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{25}$ と $0$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{1}{25}$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 3^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 3^{2}}$

ステップ 3.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 3^{2}}$

ステップ 3.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 3^{2}}$

ステップ 3.2.4

$3$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9}$

ステップ 3.2.5

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 9 \cdot \frac{25}{25}}$

ステップ 3.2.6

$9$ と $\frac{25}{25}$ をまとめます。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{9 \cdot 25}{25}}$

ステップ 3.2.7

公分母の分子をまとめます。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 9 \cdot 25}{25}}$

ステップ 3.2.8

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.8.1

$9$ に $25$ をかけます。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{1 + 225}{25}}$

ステップ 3.2.8.2

$1$ と $225$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{226}{25}}$

ステップ 3.2.9

$\sqrt{\frac{226}{25}}$ を $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{25}}$

ステップ 3.2.10

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.10.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{5^{2}}}$

ステップ 3.2.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{226}}{5}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} + 0^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1^{2}}{5^{2}} + 0^{2}}$

ステップ 4.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{5^{2}} + 0^{2}}$

ステップ 4.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0^{2}}$

ステップ 4.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25} + 0}$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{25}$ と $0$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{\frac{1}{25}}$

ステップ 4.2.6

$\sqrt{\frac{1}{25}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

ステップ 4.2.7

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{25}}$

ステップ 4.2.8

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.8.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

ステップ 4.2.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = \frac{1}{5}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{\frac{1}{25}}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5} \cdot \frac{1}{5}})$

ステップ 6.2

$\frac{\sqrt{226}}{5}$ に $\frac{1}{5}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{5 \cdot 5}})$

ステップ 6.3

$5$ に $5$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{226}}{25}})$

ステップ 6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} (1 \frac{25}{\sqrt{226}}))$

ステップ 6.5

$\frac{25}{\sqrt{226}}$ に $1$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

ステップ 6.6

$25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{1}{25} \cdot \frac{25}{\sqrt{226}})$

ステップ 6.6.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}})$

ステップ 6.7

$\frac{1}{\sqrt{226}}$ に $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{1}{\sqrt{226}} \cdot \frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}})$

ステップ 6.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.8.1

$\frac{1}{\sqrt{226}}$ に $\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{\sqrt{226} \sqrt{226}})$

ステップ 6.8.2

$\sqrt{226}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} \sqrt{226}})$

ステップ 6.8.3

$\sqrt{226}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1} {\sqrt{226}}^{1}})$

ステップ 6.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{\sqrt{226}}^{2}})$

ステップ 6.8.6

${\sqrt{226}}^{2}$ を $226$ に書き換えます。

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ステップ 6.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{226}$ を $226^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{{(226^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.8.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226^{1}})$

ステップ 6.8.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$

ステップ 6.9

$\arccos (\frac{\sqrt{226}}{226})$ の値を求めます。

$θ = 86.18592516$

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