代数学準備例

$2 \sqrt[3]{x - 1} = \sqrt[3]{x^{2} + 2 x}$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(2 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の法則を $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$2^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.3

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$8 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$8 {(x - 1)}^{1} = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.4

簡約します。

$8 (x - 1) = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$8 x + 8 \cdot - 1 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.6

$8$ に $- 1$ をかけます。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${\sqrt[3]{x^{2} + 2 x}}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$x$ を $x^{2} + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + 2 x}}^{3}$

ステップ 2.3.1.1.2

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x \cdot x + x \cdot 2}}^{3}$

ステップ 2.3.1.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 2$ で因数分解します。

$8 x - 8 = {\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$

ステップ 2.3.1.2

${\sqrt[3]{x (x + 2)}}^{3}$ を $x (x + 2)$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x (x + 2)}$ を ${(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$8 x - 8 = {({(x (x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 2.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.2.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

ステップ 2.3.1.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{\frac{3}{3}}$

ステップ 2.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$8 x - 8 = {(x (x + 2))}^{1}$

ステップ 2.3.1.2.5

簡約します。

$8 x - 8 = x (x + 2)$

ステップ 2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$8 x - 8 = x \cdot x + x \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1.4.1

$x$ に $x$ をかけます。

$8 x - 8 = x^{2} + x \cdot 2$

ステップ 2.3.1.4.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$8 x - 8 = x^{2} + 2 x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} + 2 x = 8 x - 8$

ステップ 3.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $8 x$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 8 x = - 8$

ステップ 3.2.2

$2 x$ から $8 x$ を引きます。

$x^{2} - 6 x = - 8$

ステップ 3.3

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

ステップ 3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 8$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x - 2) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 3.6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 3.7

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.8

最終解は $(x - 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 2$

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