代数学準備例

$(- 3, - 8)$

ステップ 1

点を含む指数関数 $f (x) = a^{x}$ を求めるために、関数の $f (x)$ を点の $y$ 値 $- 8$ とし、 $x$ を点の $x$ 値 $- 3$ とします。

$- 8 = a^{- 3}$

ステップ 2

$a$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $a^{- 3} = - 8$ として書き換えます。

$a^{- 3} = - 8$

ステップ 2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{a^{3}} = - 8$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$a^{3}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$a^{3}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{a^{3}} = - 8$ の各項に $a^{3}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\frac{1}{a^{3}} = - 8$ の各項に $a^{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$a^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = - 8 a^{3}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = - 8 a^{3}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

方程式を $- 8 a^{3} = 1$ として書き換えます。

$- 8 a^{3} = 1$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 8 a^{3} - 1 = 0$

ステップ 2.5.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

$- 1$ を $- 8 a^{3} - 1$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1.1

$- 1$ を $- 8 a^{3}$ で因数分解します。

$- (8 a^{3}) - 1 = 0$

ステップ 2.5.3.1.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- (8 a^{3}) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.5.3.1.3

$- 1$ を $- (8 a^{3}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- (8 a^{3} + 1) = 0$

ステップ 2.5.3.2

$8 a^{3}$ を ${(2 a)}^{3}$ に書き換えます。

$- ({(2 a)}^{3} + 1) = 0$

ステップ 2.5.3.3

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$- ({(2 a)}^{3} + 1^{3}) = 0$

ステップ 2.5.3.4

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 a$ であり、 $b = 1$ です。

$- ((2 a + 1) ({(2 a)}^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.5.3.5

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.5.1.1

積の法則を $2 a$ に当てはめます。

$- ((2 a + 1) (2^{2} a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.5.3.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.5.3.5.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.5.3.5.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1^{2})) = 0$

ステップ 2.5.3.5.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$- ((2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1)) = 0$

ステップ 2.5.3.5.2

不要な括弧を削除します。

$- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$

ステップ 2.5.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 a + 1 = 0$

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

ステップ 2.5.5

$2 a + 1$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$2 a + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 a + 1 = 0$

ステップ 2.5.5.2

$a$ について $2 a + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 a = - 1$

ステップ 2.5.5.2.2

$2 a = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.1

$2 a = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.5.2.2.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$a = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.5.6

$4 a^{2} - 2 a + 1$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

$4 a^{2} - 2 a + 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$

ステップ 2.5.6.2

$a$ について $4 a^{2} - 2 a + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.6.2.2

$a = 4$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $a$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.2.2

$- 16$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.5.6.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 2.5.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.2.2

$- 16$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.5.6.2.4.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 2.5.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 2.5.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.2.2

$- 16$ に $1$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$a = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$a = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

ステップ 2.5.6.2.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$a = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

ステップ 2.5.6.2.5.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ を簡約します。

$a = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 2.5.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$a = \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 2.5.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$a = \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 2.5.7

最終解は $- (2 a + 1) (4 a^{2} - 2 a + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = - \frac{1}{2}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

ステップ 2.6

虚数成分を含む値をすべて削除します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

虚数成分はありません。最終の答えに $- \frac{1}{2}$ を足します。

$- \frac{1}{2}$ は実数です

ステップ 2.6.2

文字 $i$ は虚数成分を表し、実数ではありません。 $\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ を最終の答えに加えてはいけません。

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ は実数ではありません

ステップ 2.6.3

文字 $i$ は虚数成分を表し、実数ではありません。 $\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ を最終の答えに加えてはいけません。

$\frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ は実数ではありません

ステップ 2.6.4

最終的な答えは虚数成分を含まない値のリストです。

$a = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

各値を $a$ に代入し、関数 $f (x) = a^{x}$ に戻し、それぞれの可能な指数関数を求めます。

$f (x) = {(- \frac{1}{2})}^{x}$

代数学準備 例

代数学準備例