代数学準備例

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 7}$

ステップ 1

両辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$0.5$ を $0.5 z^{2} + 7$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$0.5$ を $0.5 z^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2}) + 7}$

ステップ 1.1.2

$0.5$ を $7$ で因数分解します。

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14}$

ステップ 1.1.3

$0.5$ を $0.5 z^{2} + 0.5 \cdot 14$ で因数分解します。

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5 (z^{2} + 14)}$

ステップ 1.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2 (1)}{0.5 (z^{2} + 14)}$

ステップ 1.3

分数を分解します。

$\frac{2}{z - 5} = \frac{2}{0.5} \cdot \frac{1}{z^{2} + 14}$

ステップ 1.4

$2$ を $0.5$ で割ります。

$\frac{2}{z - 5} = 4 \frac{1}{z^{2} + 14}$

ステップ 1.5

$4$ と $\frac{1}{z^{2} + 14}$ をまとめます。

$\frac{2}{z - 5} = \frac{4}{z^{2} + 14}$

ステップ 2

1番目の分数の分子に2番目の分数の分母を掛けます。これを1番目の分数の分母と2番目の分数の分子の積に等しくします。

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

ステップ 3

$z$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$2 (z^{2} + 14)$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + 2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

ステップ 3.1.2

0を加えて簡約します。

$2 (z^{2} + 14) = (z - 5) \cdot 4$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$2 z^{2} + 2 \cdot 14 = (z - 5) \cdot 4$

ステップ 3.1.4

$2$ に $14$ をかけます。

$2 z^{2} + 28 = (z - 5) \cdot 4$

ステップ 3.2

$(z - 5) \cdot 4$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$2 z^{2} + 28 = z \cdot 4 - 5 \cdot 4$

ステップ 3.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ を $z$ の左に移動させます。

$2 z^{2} + 28 = 4 \cdot z - 5 \cdot 4$

ステップ 3.2.2.2

$- 5$ に $4$ をかけます。

$2 z^{2} + 28 = 4 z - 20$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $4 z$ を引きます。

$2 z^{2} + 28 - 4 z = - 20$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $20$ を足します。

$2 z^{2} + 28 - 4 z + 20 = 0$

ステップ 3.5

$28$ と $20$ をたし算します。

$2 z^{2} - 4 z + 48 = 0$

ステップ 3.6

$2$ を $2 z^{2} - 4 z + 48$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1

$2$ を $2 z^{2}$ で因数分解します。

$2 (z^{2}) - 4 z + 48 = 0$

ステップ 3.6.2

$2$ を $- 4 z$ で因数分解します。

$2 (z^{2}) + 2 (- 2 z) + 48 = 0$

ステップ 3.6.3

$2$ を $48$ で因数分解します。

$2 z^{2} + 2 (- 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

ステップ 3.6.4

$2$ を $2 z^{2} + 2 (- 2 z)$ で因数分解します。

$2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24 = 0$

ステップ 3.6.5

$2$ を $2 (z^{2} - 2 z) + 2 \cdot 24$ で因数分解します。

$2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$

ステップ 3.7

$2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.1

$2 (z^{2} - 2 z + 24) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (z^{2} - 2 z + 24)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.7.2.1.2

$z^{2} - 2 z + 24$ を $1$ で割ります。

$z^{2} - 2 z + 24 = \frac{0}{2}$

ステップ 3.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.7.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$z^{2} - 2 z + 24 = 0$

ステップ 3.8

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.9

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 24$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $z$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 24)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10

簡約します。

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ステップ 3.10.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.10.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 24$ を掛けます。

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ステップ 3.10.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.2.2

$- 4$ に $24$ をかけます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.3

$4$ から $96$ を引きます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.4

$- 92$ を $- 1 (92)$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.5

$\sqrt{- 1 (92)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.7

$92$ を $2^{2} \cdot 23$ に書き換えます。

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ステップ 3.10.1.7.1

$4$ を $92$ で因数分解します。

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.10.2

$2$ に $1$ をかけます。

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$

ステップ 3.10.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2}$ を簡約します。

$z = 1 \pm i \sqrt{23}$

ステップ 3.11

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$z = 1 + i \sqrt{23}, 1 - i \sqrt{23}$

代数学準備 例

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