代数学準備例

$9 x - 3 \sqrt{x - 2} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $9 x$ を引きます。

$- 3 \sqrt{x - 2} = - 9 x$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- 3 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 2}$ を ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(- 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $- 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 3)}^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$9 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.3

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$9 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$9 {(x - 2)}^{1} = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.4

簡約します。

$9 (x - 2) = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.5

分配則を当てはめます。

$9 x + 9 \cdot - 2 = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.2.1.6

$9$ に $- 2$ をかけます。

$9 x - 18 = {(- 9 x)}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(- 9 x)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の法則を $- 9 x$ に当てはめます。

$9 x - 18 = {(- 9)}^{2} x^{2}$

ステップ 3.3.1.2

$- 9$ を $2$ 乗します。

$9 x - 18 = 81 x^{2}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $81 x^{2}$ を引きます。

$9 x - 18 - 81 x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$- 9$ を $9 x - 18 - 81 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

式を並べ替えます。

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ステップ 4.2.1.1

$- 18$ を移動させます。

$9 x - 81 x^{2} - 18 = 0$

ステップ 4.2.1.2

$9 x$ と $- 81 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 81 x^{2} + 9 x - 18 = 0$

ステップ 4.2.2

$- 9$ を $- 81 x^{2}$ で因数分解します。

$- 9 (9 x^{2}) + 9 x - 18 = 0$

ステップ 4.2.3

$- 9$ を $9 x$ で因数分解します。

$- 9 (9 x^{2}) - 9 (- x) - 18 = 0$

ステップ 4.2.4

$- 9$ を $- 18$ で因数分解します。

$- 9 (9 x^{2}) - 9 (- x) - 9 \cdot 2 = 0$

ステップ 4.2.5

$- 9$ を $- 9 (9 x^{2}) - 9 (- x)$ で因数分解します。

$- 9 (9 x^{2} - x) - 9 \cdot 2 = 0$

ステップ 4.2.6

$- 9$ を $- 9 (9 x^{2} - x) - 9 (2)$ で因数分解します。

$- 9 (9 x^{2} - x + 2) = 0$

ステップ 4.3

$- 9 (9 x^{2} - x + 2) = 0$ の各項を $- 9$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 9 (9 x^{2} - x + 2) = 0$ の各項を $- 9$ で割ります。

$\frac{- 9 (9 x^{2} - x + 2)}{- 9} = \frac{0}{- 9}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 (9 x^{2} - x + 2)}{- 9} = \frac{0}{- 9}$

ステップ 4.3.2.1.2

$9 x^{2} - x + 2$ を $1$ で割ります。

$9 x^{2} - x + 2 = \frac{0}{- 9}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$0$ を $- 9$ で割ります。

$9 x^{2} - x + 2 = 0$

ステップ 4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.5

$a = 9$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 2)}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6

簡約します。

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ステップ 4.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 9 \cdot 2}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6.1.2

$- 4 \cdot 9 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 4.6.1.2.1

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 36 \cdot 2}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6.1.2.2

$- 36$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6.1.3

$1$ から $72$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6.1.4

$- 71$ を $- 1 (71)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6.1.5

$\sqrt{- 1 (71)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 9}$

ステップ 4.6.2

$2$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{18}$

ステップ 4.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + i \sqrt{71}}{18}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{18}$

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