代数学準備例

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{y^{2} + 9 y - 22}$

ステップ 1

たすき掛けを利用して $y^{2} + 9 y - 22$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 22$ で、その和が $9$ です。

$- 2, 11$

ステップ 1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y - 2, (y - 2) (y + 11)$

ステップ 2.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 2.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 2.4

$1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 2.5

$y - 2$ の因数は $y - 2$ そのものです。

$(y - 2) = y - 2$

$(y - 2)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.6

$y + 11$ の因数は $y + 11$ そのものです。

$(y + 11) = y + 11$

$(y + 11)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 2.7

$y - 2, y - 2, y + 11$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(y - 2) (y + 11)$

ステップ 3

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ の各項に $(y - 2) (y + 11)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{y - 5}{y - 2} = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)}$ の各項に $(y - 2) (y + 11)$ を掛けます。

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$y - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y - 5}{y - 2} ((y - 2) (y + 11)) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$(y - 5) (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 5) (y + 11)$ を展開します。

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ステップ 3.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y (y + 11) - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.2.2

分配則を当てはめます。

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 (y + 11) = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.2.3

分配則を当てはめます。

$y \cdot y + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} + y \cdot 11 - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.3.1.2

$11$ を $y$ の左に移動させます。

$y^{2} + 11 \cdot y - 5 y - 5 \cdot 11 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.3.1.3

$- 5$ に $11$ をかけます。

$y^{2} + 11 y - 5 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.2.3.2

$11 y$ から $5 y$ を引きます。

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$(y - 2) (y + 11)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} + 6 y - 55 = \frac{1}{(y - 2) (y + 11)} ((y - 2) (y + 11))$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} + 6 y - 55 = 1$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y^{2} + 6 y - 55 - 1 = 0$

ステップ 4.1.2

$- 55$ から $1$ を引きます。

$y^{2} + 6 y - 56 = 0$

ステップ 4.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.3

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = - 56$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 56)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 56$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.2.2

$- 4$ に $- 56$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 224}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.3

$36$ と $224$ をたし算します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.4

$260$ を $2^{2} \cdot 65$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.1.4.1

$4$ を $260$ で因数分解します。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

ステップ 4.4.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ を簡約します。

$y = - 3 \pm \sqrt{65}$

ステップ 4.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = - 3 + \sqrt{65}, - 3 - \sqrt{65}$

10進法形式：

$y = 5.06225774 \dots, - 11.06225774 \dots$

代数学準備 例

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