代数学準備例

$x^{3} = \frac{125}{216}$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{125}{216}$ を引きます。

$x^{3} - \frac{125}{216} = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$\frac{125}{216}$ を ${(\frac{5}{6})}^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - {(\frac{5}{6})}^{3} = 0$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = \frac{5}{6}$ です。

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + x (\frac{5}{6}) + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$x$ と $\frac{5}{6}$ をまとめます。

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{x \cdot 5}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

ステップ 2.3.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 \cdot x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3

$5$ に $x$ をかけます。

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + {(\frac{5}{6})}^{2}) = 0$

ステップ 2.3.4

積の法則を $\frac{5}{6}$ に当てはめます。

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{5^{2}}{6^{2}}) = 0$

ステップ 2.3.5

$5$ を $2$ 乗します。

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{6^{2}}) = 0$

ステップ 2.3.6

$6$ を $2$ 乗します。

$(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - \frac{5}{6} = 0$

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

ステップ 4

$x - \frac{5}{6}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - \frac{5}{6}$ が $0$ に等しいとします。

$x - \frac{5}{6} = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $\frac{5}{6}$ を足します。

$x = \frac{5}{6}$

ステップ 5

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

両辺に最小公分母 $36$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$36 x^{2} + 36 (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

ステップ 5.2.1.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.2.1.1

$6$ を $36$ で因数分解します。

$36 x^{2} + 6 (6) (\frac{5 x}{6}) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

ステップ 5.2.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$36 x^{2} + 6 \cdot (6 (\frac{5 x}{6})) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

ステップ 5.2.1.2.1.3

式を書き換えます。

$36 x^{2} + 6 (5 x) + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

ステップ 5.2.1.2.2

$5$ に $6$ をかけます。

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

ステップ 5.2.1.2.3

$36$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.2.3.1

共通因数を約分します。

$36 x^{2} + 30 x + 36 (\frac{25}{36}) = 0$

ステップ 5.2.1.2.3.2

式を書き換えます。

$36 x^{2} + 30 x + 25 = 0$

ステップ 5.2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.2.3

$a = 36$ 、 $b = 30$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (36 \cdot 25)}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4

簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1.1

$30$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 36 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 36 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $36$ をかけます。

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 144 \cdot 25}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.2.2

$- 144$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 3600}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.3

$900$ から $3600$ を引きます。

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 2700}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.4

$- 2700$ を $- 1 (2700)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2700}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (2700)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{2700}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.7

$2700$ を $30^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.4.1.7.1

$900$ を $2700$ で因数分解します。

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{900 (3)}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.7.2

$900$ を $30^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot \sqrt{30^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 30 \pm i \cdot (30 \sqrt{3})}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.1.9

$30$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{2 \cdot 36}$

ステップ 5.2.4.2

$2$ に $36$ をかけます。

$x = \frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{- 30 \pm 30 i \sqrt{3}}{72}$ を簡約します。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{12}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$

ステップ 6

最終解は $(x - \frac{5}{6}) (x^{2} + \frac{5 x}{6} + \frac{25}{36}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{5}{6}, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{12}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{12}$

代数学準備 例

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