代数学準備例

$x^{3} - x = 4 x^{2} - 4$

ステップ 1

方程式の両辺から $4 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} - x - 4 x^{2} = - 4$

ステップ 2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x^{3} - x - 4 x^{2} + 4 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$x^{3} - 4 x^{2} - x + 4 = 0$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} - 4 x^{2}) - x + 4 = 0$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x - 4) - (x - 4) = 0$

$x^{2} (x - 4) - (x - 4) = 0$

ステップ 3.3

最大公約数 $x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 4) (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x - 4) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 3.5

因数分解。

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ステップ 3.5.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 4) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 3.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

$(x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

$(x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

$x = 4$

ステップ 6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 7

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

$x = 1$

ステップ 8

最終解は $(x - 4) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 1, 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$