代数学準備例

$\sqrt[3]{4 x^{2} + 3 x - 8} = \sqrt[3]{4 x}$

ステップ 1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{4 x^{2} + 3 x - 8}}^{3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

ステップ 2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4 x^{2} + 3 x - 8}$ を ${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

${({(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

${({(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(4 x^{2} + 3 x - 8)}^{1} = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

ステップ 2.2.1.2

簡約します。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {\sqrt[3]{4 x}}^{3}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

${\sqrt[3]{4 x}}^{3}$ を $4 x$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4 x}$ を ${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {({(4 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

ステップ 2.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

ステップ 2.3.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

ステップ 2.3.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{\frac{3}{3}}$

ステップ 2.3.1.4.2

式を書き換えます。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = {(4 x)}^{1}$

ステップ 2.3.1.5

簡約します。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = 4 x$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$4 x^{2} + 3 x - 8 - 4 x = 0$

ステップ 3.1.2

$3 x$ から $4 x$ を引きます。

$4 x^{2} - x - 8 = 0$

ステップ 3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.3

$a = 4$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 8)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.4.1.2.2

$- 16$ に $- 8$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 128}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.4.1.3

$1$ と $128$ をたし算します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{129}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{129}}{8}$

ステップ 3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + \sqrt{129}}{8}, \frac{1 - \sqrt{129}}{8}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1 + \sqrt{129}}{8}, \frac{1 - \sqrt{129}}{8}$

10進法形式：

$x = 1.54472708 \dots, - 1.29472708 \dots$

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