代数学準備例

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

ステップ 1

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

ステップ 1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{2} - 5 x^{\frac{1}{4}} - 24 = 0$

ステップ 1.4

$u = x^{\frac{1}{4}}$ とします。 $u$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に代入します。

$u^{2} - 5 u - 24 = 0$

ステップ 1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - 5 u - 24$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 24$ で、その和が $- 5$ です。

$- 8, 3$

ステップ 1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u + 3) = 0$

ステップ 1.6

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{4}}$ で置き換えます。

$(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

ステップ 3

$x^{\frac{1}{4}} - 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{\frac{1}{4}} - 8$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{\frac{1}{4}} - 8 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x^{\frac{1}{4}} = 8$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺を $4$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 8^{4}$

ステップ 3.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 8^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = 8^{4}$

ステップ 3.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$8$ を $4$ 乗します。

$x = 4096$

ステップ 4

$x^{\frac{1}{4}} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{\frac{1}{4}} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{\frac{1}{4}} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{\frac{1}{4}} = - 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺を $4$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = {(- 3)}^{4}$

ステップ 4.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$- 3$ を $4$ 乗します。

$x = 81$

ステップ 5

最終解は $(x^{\frac{1}{4}} - 8) (x^{\frac{1}{4}} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4096, 81$

ステップ 6

$\sqrt{x} - 5 \sqrt[4]{x} - 24 = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 4096$

代数学準備 例

代数学準備例