代数学準備例

$\sqrt{3 x + 18} - \sqrt{x + 19} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺に $\sqrt{x + 19}$ を足します。

$\sqrt{3 x + 18} = 1 + \sqrt{x + 19}$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 x + 18}}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x + 18}$ を ${(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

${({(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

${({(3 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 x + 18)}^{1} = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$3 x + 18 = {(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(1 + \sqrt{x + 19})}^{2}$ を $(1 + \sqrt{x + 19}) (1 + \sqrt{x + 19})$ に書き換えます。

$3 x + 18 = (1 + \sqrt{x + 19}) (1 + \sqrt{x + 19})$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sqrt{x + 19}) (1 + \sqrt{x + 19})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$3 x + 18 = 1 (1 + \sqrt{x + 19}) + \sqrt{x + 19} (1 + \sqrt{x + 19})$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$3 x + 18 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} (1 + \sqrt{x + 19})$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$3 x + 18 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \cdot 1 + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$3 x + 18 = 1 + 1 \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \cdot 1 + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$\sqrt{x + 19}$ に $1$ をかけます。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \cdot 1 + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$\sqrt{x + 19}$ に $1$ をかけます。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$

ステップ 3.3.1.3.1.4

$\sqrt{x + 19} \sqrt{x + 19}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.4.1

$\sqrt{x + 19}$ を $1$ 乗します。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{1} \sqrt{x + 19}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.2

$\sqrt{x + 19}$ を $1$ 乗します。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{1} {\sqrt{x + 19}}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {\sqrt{x + 19}}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5

${\sqrt{x + 19}}^{2}$ を $x + 19$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 19}$ を ${(x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + {(x + 19)}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.5

簡約します。

$3 x + 18 = 1 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + x + 19$

ステップ 3.3.1.3.2

$1$ と $19$ をたし算します。

$3 x + 18 = 20 + \sqrt{x + 19} + \sqrt{x + 19} + x$

ステップ 3.3.1.3.3

$\sqrt{x + 19}$ と $\sqrt{x + 19}$ をたし算します。

$3 x + 18 = 20 + 2 \sqrt{x + 19} + x$

ステップ 4

$2 \sqrt{x + 19}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を $20 + 2 \sqrt{x + 19} + x = 3 x + 18$ として書き換えます。

$20 + 2 \sqrt{x + 19} + x = 3 x + 18$

ステップ 4.2

$2 \sqrt{x + 19}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$2 \sqrt{x + 19} + x = 3 x + 18 - 20$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 \sqrt{x + 19} = 3 x + 18 - 20 - x$

ステップ 4.2.3

$3 x$ から $x$ を引きます。

$2 \sqrt{x + 19} = 2 x + 18 - 20$

ステップ 4.2.4

$18$ から $20$ を引きます。

$2 \sqrt{x + 19} = 2 x - 2$

ステップ 5

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x + 19})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 19}$ を ${(x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${(2 {(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

積の法則を $2 {(x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

${({(x + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x + 19)}^{1} = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

簡約します。

$4 (x + 19) = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot 19 = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.6

$4$ に $19$ をかけます。

$4 x + 76 = {(2 x - 2)}^{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

${(2 x - 2)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

${(2 x - 2)}^{2}$ を $(2 x - 2) (2 x - 2)$ に書き換えます。

$4 x + 76 = (2 x - 2) (2 x - 2)$

ステップ 6.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 2) (2 x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$4 x + 76 = 2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)$

ステップ 6.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$4 x + 76 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)$

ステップ 6.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$4 x + 76 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 6.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x + 76 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 6.3.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$4 x + 76 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 6.3.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x + 76 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 6.3.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + 76 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 6.3.1.3.1.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

ステップ 6.3.1.3.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2$

ステップ 6.3.1.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4$

ステップ 6.3.1.3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$4 x + 76 = 4 x^{2} - 8 x + 4$

ステップ 7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$4 x^{2} - 8 x + 4 = 4 x + 76$

ステップ 7.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

$4 x^{2} - 8 x + 4 - 4 x = 76$

ステップ 7.2.2

$- 8 x$ から $4 x$ を引きます。

$4 x^{2} - 12 x + 4 = 76$

ステップ 7.3

方程式の両辺から $76$ を引きます。

$4 x^{2} - 12 x + 4 - 76 = 0$

ステップ 7.4

$4$ から $76$ を引きます。

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

ステップ 7.5

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$4$ を $4 x^{2} - 12 x - 72$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

ステップ 7.5.1.2

$4$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

ステップ 7.5.1.3

$4$ を $- 72$ で因数分解します。

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

ステップ 7.5.1.4

$4$ を $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ で因数分解します。

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

ステップ 7.5.1.5

$4$ を $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ で因数分解します。

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

ステップ 7.5.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 18$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $- 3$ です。

$- 6, 3$

ステップ 7.5.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

ステップ 7.5.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

ステップ 7.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 7.7

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 7.7.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 7.8

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 7.8.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7.9

最終解は $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, - 3$

ステップ 8

$\sqrt{3 x + 18} - \sqrt{x + 19} = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 6$

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