代数学準備例

$e^{2 x} + 2 e^{x} - 15 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(e^{x})}^{2} + 2 e^{x} - 15 = 0$

ステップ 1.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u^{2} + 2 u - 15 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 2 u - 15$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u + 5) = 0$

$(u - 3) (u + 5) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$

$(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} - 3 = 0$

$e^{x} + 5 = 0$

ステップ 3

$e^{x} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$e^{x} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} - 3 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $e^{x} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$e^{x} = 3$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

ステップ 3.2.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (3)$

ステップ 3.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (3)$

ステップ 3.2.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

$x = \ln (3)$

ステップ 4

$e^{x} + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$e^{x} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} + 5 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $e^{x} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$e^{x} = - 5$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 5)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$e^{x} = - 5$ の解はありません

解がありません

解がありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $(e^{x} - 3) (e^{x} + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (3)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (3)$

10進法形式：

$x = 1.09861228 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$