代数学準備例

$8 x^{\frac{1}{3}} = x^{- \frac{2}{3}}$

ステップ 1

両指数に最小公分母をかけて分数指数を消去します。

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 2

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

積の法則を $8 x^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 2.2

$8$ を $3$ 乗します。

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 2.3

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 2.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$512 x^{1} = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 2.4

簡約します。

$512 x = {(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$

ステップ 3

${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

${(x^{- \frac{2}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$512 x = x^{- \frac{2}{3} \cdot 3}$

ステップ 3.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

ステップ 3.1.2.2

共通因数を約分します。

$512 x = x^{\frac{- 2}{3} \cdot 3}$

ステップ 3.1.2.3

式を書き換えます。

$512 x = x^{- 2}$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 4

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{2}$

ステップ 4.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 5

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.1

$512 x = \frac{1}{x^{2}}$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$512 x \cdot x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$512 (x^{2} x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 5.2.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$512 (x^{2} x^{1}) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$512 x^{2 + 1} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

共通因数を約分します。

$512 x^{3} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

ステップ 5.3.1.2

式を書き換えます。

$512 x^{3} = 1$

ステップ 6

方程式を解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$512 x^{3} - 1 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$512 x^{3}$ を ${(8 x)}^{3}$ に書き換えます。

${(8 x)}^{3} - 1 = 0$

ステップ 6.2.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

${(8 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 6.2.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 8 x$ であり、 $b = 1$ です。

$(8 x - 1) ({(8 x)}^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 6.2.4

簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

積の法則を $8 x$ に当てはめます。

$(8 x - 1) (8^{2} x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 6.2.4.2

$8$ を $2$ 乗します。

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 6.2.4.3

$8$ に $1$ をかけます。

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 6.2.4.4

1のすべての数の累乗は1です。

$(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$8 x - 1 = 0$

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

ステップ 6.4

$8 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$8 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$8 x - 1 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $8 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$8 x = 1$

ステップ 6.4.2.2

$8 x = 1$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$8 x = 1$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8}$

ステップ 6.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{8}$

ステップ 6.5

$64 x^{2} + 8 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$64 x^{2} + 8 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $64 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.5.2.2

$a = 64$ 、 $b = 8$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (64 \cdot 1)}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3

簡約します。

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ステップ 6.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.2.3.1.1

$8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 64 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 6.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256 \cdot 1}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.2.2

$- 256$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.3

$64$ から $256$ を引きます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.4

$- 192$ を $- 1 (192)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (192)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.7

$192$ を $8^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 6.5.2.3.1.7.1

$64$ を $192$ で因数分解します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.7.2

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.1.9

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 64}$

ステップ 6.5.2.3.2

$2$ に $64$ をかけます。

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$

ステップ 6.5.2.3.3

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{128}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{16}$

ステップ 6.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

ステップ 6.6

最終解は $(8 x - 1) (64 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{8}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{16}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{16}$

代数学準備 例

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