代数学準備例

$x = {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1$

ステップ 1

方程式を ${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$ として書き換えます。

${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} - 1 = x$

ステップ 2

積の法則を $\frac{a}{b}$ に当てはめます。

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - 1 = x$

ステップ 3

$n$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} - x = 1$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = 1 + x$

ステップ 4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}) = \ln (1 + x)$

ステップ 5

左辺を展開します。

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ステップ 5.1

$\ln (\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}})$ を $\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}})$ に書き換えます。

$\ln (a^{\frac{1}{n}}) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

ステップ 5.2

$\frac{1}{n}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (a^{\frac{1}{n}})$ を展開します。

$\frac{1}{n} \ln (a) - \ln (b^{\frac{1}{n}}) = \ln (1 + x)$

ステップ 5.3

$\frac{1}{n}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (b^{\frac{1}{n}})$ を展開します。

$\frac{1}{n} \ln (a) - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

ステップ 5.4

$\frac{1}{n}$ と $\ln (a)$ をまとめます。

$\frac{\ln (a)}{n} - (\frac{1}{n} \ln (b)) = \ln (1 + x)$

ステップ 5.5

$\frac{1}{n}$ と $\ln (b)$ をまとめます。

$\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

ステップ 6

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{\ln (a)}{n} - \frac{\ln (b)}{n}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (a) - \ln (b)}{n} = \ln (1 + x)$

ステップ 6.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$

ステップ 7

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 7.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$n, 1$

ステップ 7.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$n$

ステップ 8

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ の各項に $n$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 8.1

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} = \ln (1 + x)$ の各項に $n$ を掛けます。

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$n$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (\frac{a}{b})}{n} n = \ln (1 + x) n$

ステップ 8.2.1.2

式を書き換えます。

$\ln (\frac{a}{b}) = \ln (1 + x) n$

ステップ 9

方程式を解きます。

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ステップ 9.1

方程式を $\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ として書き換えます。

$\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$

ステップ 9.2

$\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ の各項を $\ln (1 + x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\ln (1 + x) n = \ln (\frac{a}{b})$ の各項を $\ln (1 + x)$ で割ります。

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$\ln (1 + x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (1 + x) n}{\ln (1 + x)} = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

ステップ 9.2.2.1.2

$n$ を $1$ で割ります。

$n = \frac{\ln (\frac{a}{b})}{\ln (1 + x)}$

代数学準備 例

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