代数学準備例

$r^{4} - 8 r^{2} = - 15$

ステップ 1

方程式の両辺に $15$ を足します。

$r^{4} - 8 r^{2} + 15 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1

$r^{4}$ を ${(r^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(r^{2})}^{2} - 8 r^{2} + 15 = 0$

ステップ 2.2

$u = r^{2}$ とします。 $u$ を $r^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 8 u + 15 = 0$

ステップ 2.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 8 u + 15$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $15$ で、その和が $- 8$ です。

$- 5, - 3$

ステップ 2.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 5) (u - 3) = 0$

ステップ 2.4

$u$ のすべての発生を $r^{2}$ で置き換えます。

$(r^{2} - 5) (r^{2} - 3) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$r^{2} - 5 = 0$

$r^{2} - 3 = 0$

ステップ 4

$r^{2} - 5$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 4.1

$r^{2} - 5$ が $0$ に等しいとします。

$r^{2} - 5 = 0$

ステップ 4.2

$r$ について $r^{2} - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$r^{2} = 5$

ステップ 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{5}$

ステップ 4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \sqrt{5}$

ステップ 4.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \sqrt{5}$

ステップ 4.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

ステップ 5

$r^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $r$ を解きます。

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ステップ 5.1

$r^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$r^{2} - 3 = 0$

ステップ 5.2

$r$ について $r^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$r^{2} = 3$

ステップ 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 6

最終解は $(r^{2} - 5) (r^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$r = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$r = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

10進法形式：

$r = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

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