代数学準備例

$w^{4} - w = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$w$ を $w^{4} - w$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$w$ を $w^{4}$ で因数分解します。

$w \cdot w^{3} - w = 0$

ステップ 1.1.2

$w$ を $- w$ で因数分解します。

$w \cdot w^{3} + w \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.1.3

$w$ を $w \cdot w^{3} + w \cdot - 1$ で因数分解します。

$w (w^{3} - 1) = 0$

ステップ 1.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$w (w^{3} - 1^{3}) = 0$

ステップ 1.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = w$ であり、 $b = 1$ です。

$w ((w - 1) (w^{2} + w \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

ステップ 1.4

因数分解。

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ステップ 1.4.1

簡約します。

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ステップ 1.4.1.1

$w$ に $1$ をかけます。

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1^{2})) = 0$

ステップ 1.4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$w ((w - 1) (w^{2} + w + 1)) = 0$

ステップ 1.4.2

不要な括弧を削除します。

$w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$w = 0$

$w - 1 = 0$

$w^{2} + w + 1 = 0$

ステップ 3

$w$ が $0$ に等しいとします。

$w = 0$

ステップ 4

$w - 1$ を $0$ に等しくし、 $w$ を解きます。

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ステップ 4.1

$w - 1$ が $0$ に等しいとします。

$w - 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$w = 1$

ステップ 5

$w^{2} + w + 1$ を $0$ に等しくし、 $w$ を解きます。

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ステップ 5.1

$w^{2} + w + 1$ が $0$ に等しいとします。

$w^{2} + w + 1 = 0$

ステップ 5.2

$w$ について $w^{2} + w + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $w$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$w = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$w = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$w = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

最終解は $w (w - 1) (w^{2} + w + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$w = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

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