代数学準備例

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ を ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ に書き換えます。

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} + {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 6 = 0$

ステップ 1.2

$u = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ とします。 $u$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ に代入します。

$u^{2} + u - 6 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 3) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ で置き換えます。

$({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

ステップ 3

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

ステップ 3.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

ステップ 3.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 1)}^{1} = 2^{3}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

簡約します。

$x - 1 = 2^{3}$

ステップ 3.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$x - 1 = 8$

ステップ 3.2.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 8 + 1$

ステップ 3.2.4.2

$8$ と $1$ をたし算します。

$x = 9$

ステップ 4

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}} = - 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.2.3

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x - 1)}^{1} = {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.2.3.1.1.2

簡約します。

$x - 1 = {(- 3)}^{3}$

ステップ 4.2.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$x - 1 = - 27$

ステップ 4.2.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = - 27 + 1$

ステップ 4.2.4.2

$- 27$ と $1$ をたし算します。

$x = - 26$

ステップ 5

最終解は $({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 9, - 26$

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