代数学準備例

$\frac{100}{x^{2} - 25} + 1 = \frac{2 x}{x - 5}$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{100}{x^{2} - 25} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

ステップ 2

各項を因数分解します。

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ステップ 2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{100}{x^{2} - 5^{2}} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$

ステップ 3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(x + 5) (x - 5), x - 5, 1$

ステップ 3.2

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 3.3

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 3.4

$1, 1, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$1$

ステップ 3.5

$x + 5$ の因数は $x + 5$ そのものです。

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 3.6

$x - 5$ の因数は $x - 5$ そのものです。

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ は $1$ 回発生します。

ステップ 3.7

$x + 5, x - 5, x - 5$ の最小公倍数は、すべての因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$(x + 5) (x - 5)$

ステップ 4

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$ の各項に $(x + 5) (x - 5)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.1

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} = \frac{2 x}{x - 5} - 1$ の各項に $(x + 5) (x - 5)$ を掛けます。

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$(x + 5) (x - 5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{100}{(x + 5) (x - 5)} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.2.1.2

式を書き換えます。

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x + 5) (x - 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1.1.1

$x - 5$ を $(x + 5) (x - 5)$ で因数分解します。

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3.1.1.2

共通因数を約分します。

$100 = \frac{2 x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3.1.1.3

式を書き換えます。

$100 = 2 x (x + 5) - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3.1.2

分配則を当てはめます。

$100 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$100 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$100 = 2 x^{2} + 2 x \cdot 5 - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3.1.4

$5$ に $2$ をかけます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 4.3.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (x - 5)$ を展開します。

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ステップ 4.3.1.5.1

分配則を当てはめます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x (x - 5) + 5 (x - 5))$

ステップ 4.3.1.5.2

分配則を当てはめます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5))$

ステップ 4.3.1.5.3

分配則を当てはめます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5)$

ステップ 4.3.1.6

$x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.3.1.6.1

$x \cdot - 5$ と $5 x$ について因数を並べ替えます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5)$

ステップ 4.3.1.6.2

$- 5 x$ と $5 x$ をたし算します。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5)$

ステップ 4.3.1.6.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot x + 5 \cdot - 5)$

ステップ 4.3.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.7.1

$x$ に $x$ をかけます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x^{2} + 5 \cdot - 5)$

ステップ 4.3.1.7.2

$5$ に $- 5$ をかけます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - (x^{2} - 25)$

ステップ 4.3.1.8

分配則を当てはめます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - x^{2} - - 25$

ステップ 4.3.1.9

$- 1$ に $- 25$ をかけます。

$100 = 2 x^{2} + 10 x - x^{2} + 25$

ステップ 4.3.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$100 = x^{2} + 10 x + 25$

ステップ 5

方程式を解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $x^{2} + 10 x + 25 = 100$ として書き換えます。

$x^{2} + 10 x + 25 = 100$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $100$ を引きます。

$x^{2} + 10 x + 25 - 100 = 0$

ステップ 5.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x^{2} + 10 x - 75 = 0$

ステップ 5.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 10 x - 75$ を因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 75$ で、その和が $10$ です。

$- 5, 15$

ステップ 5.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 5) (x + 15) = 0$

ステップ 5.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x + 15 = 0$

ステップ 5.6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 5.6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 5.7

$x + 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.7.1

$x + 15$ が $0$ に等しいとします。

$x + 15 = 0$

ステップ 5.7.2

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$x = - 15$

ステップ 5.8

最終解は $(x - 5) (x + 15) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, - 15$

ステップ 6

$\frac{100}{x^{2} - 25} + 1 = \frac{2 x}{x - 5}$ が真にならない解を除外します。

$x = - 15$

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