代数学準備例

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \div \frac{16 k^{2} - 1}{4 k^{2} + 1 k - 5}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{4 k^{2} - 3 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$- 3$ を $- 3 k$ で因数分解します。

$\frac{4 k^{2} - 3 (k) - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 2.1.2

$- 3$ を $1$ プラス $- 4$ に書き換える

$\frac{4 k^{2} + (1 - 4) k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 k^{2} + 1 k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 2.1.4

$k$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 k^{2} + k - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(4 k^{2} + k) - 4 k - 1}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{k (4 k + 1) - (4 k + 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 2.3

最大公約数 $4 k + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ で和が $b = 9$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$9$ を $9 k$ で因数分解します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 9 (k) + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 3.1.2

$9$ を $4$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + (4 + 5) k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k^{2} + 4 k + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(4 k^{2} + 4 k) + 5 k + 5} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{4 k (k + 1) + 5 (k + 1)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 3.3

最大公約数 $k + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 4

群による因数分解。

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ステップ 4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1 k$ で因数分解します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + 1 (k) - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 4.1.2

$1$ を $- 4$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} + (- 4 + 5) k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k^{2} - 4 k + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(4 k^{2} - 4 k) + 5 k - 5}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{4 k (k - 1) + 5 (k - 1)}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 4.3

最大公約数 $k - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{16 k^{2} - 1}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$16 k^{2}$ を ${(4 k)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1}$

ステップ 5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{{(4 k)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4 k$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$4 k + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(4 k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{(4 k + 1) (4 k - 1)}$

ステップ 6.1.2

式を書き換えます。

$\frac{k - 1}{(k + 1) (4 k + 5)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

ステップ 6.2

$4 k + 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$4 k + 5$ を $(k + 1) (4 k + 5)$ で因数分解します。

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(k - 1) (4 k + 5)}{4 k - 1}$

ステップ 6.2.2

$4 k + 5$ を $(k - 1) (4 k + 5)$ で因数分解します。

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

ステップ 6.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{k - 1}{(4 k + 5) (k + 1)} \cdot \frac{(4 k + 5) (k - 1)}{4 k - 1}$

ステップ 6.2.4

式を書き換えます。

$\frac{k - 1}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{4 k - 1}$

ステップ 6.3

$\frac{k - 1}{k + 1}$ に $\frac{k - 1}{4 k - 1}$ をかけます。

$\frac{(k - 1) (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

ステップ 7

$k - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(k - 1)}^{1} (k - 1)}{(k + 1) (4 k - 1)}$

ステップ 8

$k - 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(k - 1)}^{1} {(k - 1)}^{1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

ステップ 9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(k - 1)}^{1 + 1}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

ステップ 10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(k - 1)}^{2}}{(k + 1) (4 k - 1)}$

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