代数学準備例

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 9} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{s}{s^{2} + 6 s + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 s = 2 \cdot s \cdot 3$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{s}{s^{2} + 2 \cdot s \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

ステップ 1.1.4

$a = s$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{s^{2} + 4 s + 3}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $s^{2} + 4 s + 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $4$ です。

$1, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

ステップ 2

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{s + 1}{s + 1}$ を掛けます。

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$

ステップ 3

$\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{s + 3}{s + 3}$ を掛けます。

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}} \cdot \frac{s + 1}{s + 1} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{s}{{(s + 3)}^{2}}$ に $\frac{s + 1}{s + 1}$ をかけます。

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5}{(s + 1) (s + 3)} \cdot \frac{s + 3}{s + 3}$

ステップ 4.2

$\frac{5}{(s + 1) (s + 3)}$ に $\frac{s + 3}{s + 3}$ をかけます。

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) (s + 3) (s + 3)}$

ステップ 4.3

$s + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} (s + 3))}$

ステップ 4.4

$s + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) ({(s + 3)}^{1} {(s + 3)}^{1})}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{(s + 1) {(s + 3)}^{2}}$

ステップ 4.7

$(s + 1) {(s + 3)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{s (s + 1)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)} + \frac{5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{s (s + 1) + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{s \cdot s + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

ステップ 6.2

$s$ に $s$ をかけます。

$\frac{s^{2} + s \cdot 1 + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

ステップ 6.3

$s$ に $1$ をかけます。

$\frac{s^{2} + s + 5 (s + 3)}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 5 \cdot 3}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

ステップ 6.5

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{s^{2} + s + 5 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

ステップ 6.6

$s$ と $5 s$ をたし算します。

$\frac{s^{2} + 6 s + 15}{{(s + 3)}^{2} (s + 1)}$

代数学準備 例

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