代数学準備例

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

群による因数分解。

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ステップ 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{7 x}{3 x^{2} - 2 (x) - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1.1.1.2

$- 2$ を $6$ プラス $- 8$ に書き換える

$\frac{7 x}{3 x^{2} + (6 - 8) x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x}{3 x^{2} + 6 x - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{7 x}{(3 x^{2} + 6 x) - 8 x - 16} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{7 x}{3 x (x + 2) - 8 (x + 2)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{x^{2} + x - 2}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 2

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$

ステップ 3

$- \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ を掛けます。

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{7 x}{(x + 2) (3 x - 8)}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

ステップ 4.2

$\frac{2 x}{(x - 1) (x + 2)}$ に $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ をかけます。

$\frac{7 x (x - 1)}{(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

ステップ 4.3

$(x + 2) (3 x - 8) (x - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)}$

ステップ 4.4

$(x - 1) (x + 2) (3 x - 8)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7 x (x - 1)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)} - \frac{2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$x$ を $7 x (x - 1) - 2 x (3 x - 8)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$x$ を $7 x (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{x (7 (x - 1)) - 2 x (3 x - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.1.2

$x$ を $- 2 x (3 x - 8)$ で因数分解します。

$\frac{x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.1.3

$x$ を $x (7 (x - 1)) + x (- 2 (3 x - 8))$ で因数分解します。

$\frac{x (7 (x - 1) - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (7 x + 7 \cdot - 1 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.3

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x - 8))}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x (7 x - 7 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.5

$3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x - 2 \cdot - 8)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.6

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{x (7 x - 7 - 6 x + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.7

$7 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{x (x - 7 + 16)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

ステップ 6.8

$- 7$ と $16$ をたし算します。

$\frac{x (x + 9)}{(3 x - 8) (x + 2) (x - 1)}$

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