代数学準備例

$\frac{8}{x^{2} - 36} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8}{x^{2} - 6^{2}} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 6$ です。

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 36}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 12 x + 6^{2}}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}}$

ステップ 1.2.4

$a = x$ と $b = 6$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 6}{x + 6}$ を掛けます。

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$

ステップ 3

$- \frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 6}{x - 6}$ を掛けます。

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 6) {(x + 6)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{8}{(x + 6) (x - 6)}$ に $\frac{x + 6}{x + 6}$ をかけます。

$\frac{8 (x + 6)}{(x + 6) (x - 6) (x + 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

ステップ 4.2

$x + 6$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} (x + 6) (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

ステップ 4.3

$x + 6$ を $1$ 乗します。

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1} {(x + 6)}^{1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{1 + 1} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2}{{(x + 6)}^{2}} \cdot \frac{x - 6}{x - 6}$

ステップ 4.6

$\frac{2}{{(x + 6)}^{2}}$ に $\frac{x - 6}{x - 6}$ をかけます。

$\frac{8 (x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 (x + 6) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ を $8 (x + 6) - 2 (x - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $8 (x + 6)$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 (x + 6)) - 2 (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.1.2

$2$ を $- 2 (x - 6)$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.1.3

$2$ を $2 (4 (x + 6)) + 2 (- (x - 6))$ で因数分解します。

$\frac{2 (4 (x + 6) - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (4 x + 4 \cdot 6 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.3

$4$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 (4 x + 24 - (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (4 x + 24 - x - - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.5

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{2 (4 x + 24 - x + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.6

$4 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 (3 x + 24 + 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.7

$24$ と $6$ をたし算します。

$\frac{2 (3 x + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.8

$3$ を $3 x + 30$ で因数分解します。

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ステップ 6.8.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (x) + 30)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.8.2

$3$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x + 3 \cdot 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.8.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 10$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 (x + 10))}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

$\frac{2 \cdot 3 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

ステップ 6.9

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 (x + 10)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6)}$

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