代数学準備例

$\frac{8 x v}{x^{2} - 4 v^{2}} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

ステップ 1

分母を簡約します。

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ステップ 1.1

$4 v^{2}$ を ${(2 v)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{8 x v}{x^{2} - {(2 v)}^{2}} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2 v$ です。

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - (2 v))} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

ステップ 1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v}$

ステップ 2

$\frac{x - 2 v}{x + 2 v}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2 v}{x - 2 v}$ を掛けます。

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{x - 2 v}{x + 2 v} \cdot \frac{x - 2 v}{x - 2 v}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{x - 2 v}{x + 2 v}$ に $\frac{x - 2 v}{x - 2 v}$ をかけます。

$\frac{8 x v}{(x + 2 v) (x - 2 v)} + \frac{(x - 2 v) (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 x v + (x - 2 v) (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2 v) (x - 2 v)$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x v + x (x - 2 v) - 2 v (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x v + x \cdot x + x (- 2 v) - 2 v (x - 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x v + x \cdot x + x (- 2 v) - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 x v + x^{2} + x (- 2 v) - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 v (- 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 v \cdot v}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2.1.4

指数を足して $v$ に $v$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.4.1

$v$ を移動させます。

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 (v \cdot v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2.1.4.2

$v$ に $v$ をかけます。

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x - 2 \cdot - 2 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2.1.5

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 x v - 2 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2.2

$- 2 x v$ から $2 v x$ を引きます。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 x v + x^{2} - 2 v x - 2 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.2.2.2

$- 2 v x$ から $2 v x$ を引きます。

$\frac{8 x v + x^{2} - 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.3

$8 x v$ から $4 v x$ を引きます。

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ステップ 4.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} + 8 v x - 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.3.2

$8 v x$ から $4 v x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 4 v x + 4 v^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.4

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$4 v^{2}$ を ${(2 v)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} + 4 v x + {(2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.4.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 v x = 2 \cdot x \cdot (2 v)$

ステップ 4.4.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot (2 v) + {(2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 4.4.4

$a = x$ と $b = 2 v$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x + 2 v)}^{2}}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 5

${(x + 2 v)}^{2}$ と $x + 2 v$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x + 2 v$ を ${(x + 2 v)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 2 v) (x + 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 2 v) (x + 2 v)}{(x + 2 v) (x - 2 v)}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x + 2 v}{x - 2 v}$

代数学準備 例

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