代数学準備例

$\frac{2}{y^{2} - 3 y + 2} + \frac{5}{y^{2} - 1}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $y^{2} - 3 y + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $- 3$ です。

$- 2, - 1$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{5}{y^{2} - 1}$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{5}{y^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 2

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y + 1}{y + 1}$ を掛けます。

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 3

$\frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y - 2}{y - 2}$ を掛けます。

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)} \cdot \frac{y + 1}{y + 1} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(y - 2) (y - 1) (y + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{2}{(y - 2) (y - 1)}$ に $\frac{y + 1}{y + 1}$ をかけます。

$\frac{2 (y + 1)}{(y - 2) (y - 1) (y + 1)} + \frac{5}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{y - 2}{y - 2}$

ステップ 4.2

$\frac{5}{(y + 1) (y - 1)}$ に $\frac{y - 2}{y - 2}$ をかけます。

$\frac{2 (y + 1)}{(y - 2) (y - 1) (y + 1)} + \frac{5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 4.3

$(y - 2) (y - 1) (y + 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 (y + 1)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)} + \frac{5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 (y + 1) + 5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y + 2 \cdot 1 + 5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 y + 2 + 5 (y - 2)}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 y + 2 + 5 y + 5 \cdot - 2}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 6.4

$5$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 y + 2 + 5 y - 10}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 6.5

$2 y$ と $5 y$ をたし算します。

$\frac{7 y + 2 - 10}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

ステップ 6.6

$2$ から $10$ を引きます。

$\frac{7 y - 8}{(y + 1) (y - 1) (y - 2)}$

代数学準備 例

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