代数学準備例

$\frac{1}{x^{2} - 9 x + 20} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 9 x + 20$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $20$ で、その和が $- 9$ です。

$- 5, - 4$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 25}$

ステップ 1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 10 x + 5^{2}}$

ステップ 1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 1.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

ステップ 1.2.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 5}{x - 5}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3

$- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 4) {(x - 5)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{(x - 5) (x - 4)}$ に $\frac{x - 5}{x - 5}$ をかけます。

$\frac{x - 5}{(x - 5) (x - 4) (x - 5)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 4.2

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} (x - 5) (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 4.3

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{1 + 1} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

ステップ 4.6

$\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ に $\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

$\frac{x - 5}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)} - \frac{5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 5 - 5 (x - 4)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 5 - 5 x - 5 \cdot - 4}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 6.2

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{x - 5 - 5 x + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 6.3

$x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x - 5 + 20}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 6.4

$- 5$ と $20$ をたし算します。

$\frac{- 4 x + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x) + 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 7.2

$15$ を $- 1 (- 15)$ に書き換えます。

$\frac{- (4 x) - 1 (- 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 7.3

$- 1$ を $- (4 x) - 1 (- 15)$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 7.4

式を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$- (4 x - 15)$ を $- 1 (4 x - 15)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (4 x - 15)}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 7.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x - 15}{{(x - 5)}^{2} (x - 4)}$

代数学準備 例

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