代数学準備例

$\frac{a^{2} - 36}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{a^{2} - 6^{2}}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a$ であり、 $b = 6$ です。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a^{2} + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 2

$4 a$ を $4 a^{2} + 4 a b$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$4 a$ を $4 a^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a b} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 2.2

$4 a$ を $4 a b$ で因数分解します。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a) + 4 a (b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 2.3

$4 a$ を $4 a (a) + 4 a (b)$ で因数分解します。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a^{2} + 2 a + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a^{2} + 2 a) + a b + 2 b}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{a (a + 2) + b (a + 2)}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 3.2

最大公約数 $a + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a^{2} + 8 a + 12}$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $a^{2} + 8 a + 12$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $8$ です。

$2, 6$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 2) (a + 6)}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$a + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$a + 6$ を $(a + 2) (a + 6)$ で因数分解します。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(a + 6) (a - 6)}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{(a + 6) (a + 2)}$

ステップ 5.1.3

式を書き換えます。

$\frac{a - 6}{4 a (a + b)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

ステップ 5.2

$a + b$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$a + b$ を $4 a (a + b)$ で因数分解します。

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + 2) (a + b)}{a + 2}$

ステップ 5.2.2

$a + b$ を $(a + 2) (a + b)$ で因数分解します。

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

ステップ 5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{a - 6}{(a + b) (4 a)} \cdot \frac{(a + b) (a + 2)}{a + 2}$

ステップ 5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{a - 6}{4 a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2}$

ステップ 5.3

$\frac{a - 6}{4 a}$ に $\frac{a + 2}{a + 2}$ をかけます。

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

ステップ 5.4

$a + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(a - 6) (a + 2)}{4 a (a + 2)}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{a - 6}{4 a}$

代数学準備 例

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