代数学準備例

$\frac{x^{3} - 64}{x^{3} + 64} \div \frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 4 x + 16}$

ステップ 1

分数を割るために、その逆数を掛けます。

$\frac{x^{3} - 64}{x^{3} + 64} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 2

分子を簡約します。

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ステップ 2.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} - 4^{3}}{x^{3} + 64} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})}{x^{3} + 64} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 \cdot x + 4^{2})}{x^{3} + 64} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 2.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x^{3} + 64} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 3

分母を簡約します。

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ステップ 3.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x^{3} + 4^{3}} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 3.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2})} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2})} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 3.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 4

項を簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{2} - 4 x + 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} - 4 x + 16$ を $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x^{2} - 4 x + 16) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x^{2} - 4 x + 16) (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 16}{x^{2} - 16}$

ステップ 4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x + 4} \cdot \frac{1}{x^{2} - 16}$

ステップ 4.2

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{x + 4}$ に $\frac{1}{x^{2} - 16}$ をかけます。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x + 4) (x^{2} - 16)}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x + 4) (x^{2} - 4^{2})}$

ステップ 5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{(x + 4) (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 5.3

指数をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$x + 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{{(x + 4)}^{1} (x + 4) (x - 4)}$

ステップ 5.3.2

$x + 4$ を $1$ 乗します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{{(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1} (x - 4)}$

ステップ 5.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{{(x + 4)}^{1 + 1} (x - 4)}$

ステップ 5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{{(x + 4)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 6

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)}{{(x + 4)}^{2} (x - 4)}$

ステップ 6.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + 4 x + 16}{{(x + 4)}^{2}}$

代数学準備 例

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