代数学準備例

$\frac{x^{4} - 1}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{4} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2})}^{2} - 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 9$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 1}$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)} \cdot (x^{2} + 9)$

ステップ 3.2

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} + 9$ を $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))} \cdot (x^{2} + 9)$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))} \cdot (x^{2} + 9)$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

代数学準備 例

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