代数学準備例

$2 x^{2} + 3 x - 5 > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 3 x - 5 = 0$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 3 (x) - 5 = 0$

ステップ 2.1.2

$3$ を $- 2$ プラス $5$ に書き換える

$2 x^{2} + (- 2 + 5) x - 5 = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - 2 x + 5 x - 5 = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} - 2 x) + 5 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (2 x + 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

ステップ 4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

$2 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 5 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $2 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$2 x = - 5$

ステップ 5.2.2

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 x = - 5$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{2}$

ステップ 6

最終解は $(x - 1) (2 x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{5}{2}$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 1$

$x > 1$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - \frac{5}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$2 {(- 5)}^{2} + 3 (- 5) - 5 > 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $30$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.2

区間 $- \frac{5}{2} < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- \frac{5}{2} < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} + 3 (0) - 5 > 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 5$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$2 {(4)}^{2} + 3 (4) - 5 > 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $39$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{5}{2}$ 真

$- \frac{5}{2} < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - \frac{5}{2}$ 真

$- \frac{5}{2} < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{5}{2}$ または $x > 1$

ステップ 10

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - \frac{5}{2} or x > 1$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, \infty)$

ステップ 11

代数学準備 例

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