代数学準備例

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (4 x) + 2 \ln (x) = 1.5$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\ln (4 x) + 2 \ln (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\ln (4 x) + \ln (x^{2}) = 1.5$

ステップ 2.1.2

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (4 x \cdot x^{2}) = 1.5$

ステップ 2.1.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\ln (4 (x^{2} x)) = 1.5$

ステップ 2.1.3.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 2.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (4 (x^{2} x^{1})) = 1.5$

ステップ 2.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (4 x^{2 + 1}) = 1.5$

ステップ 2.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\ln (4 x^{3}) = 1.5$

ステップ 3

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (4 x^{3})} = e^{1.5}$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\ln (4 x^{3}) = 1.5$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1.5} = 4 x^{3}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $4 x^{3} = e^{1.5}$ として書き換えます。

$4 x^{3} = e^{1.5}$

ステップ 5.2

$4 x^{3} = e^{1.5}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4 x^{3} = e^{1.5}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{e^{1.5}}{4}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{e^{1.5}}{4}$

ステップ 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$

ステップ 5.4

$\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\sqrt[3]{\frac{e^{1.5}}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 5.4.2

$\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

$\frac{\sqrt[3]{e^{1.5}}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.4.3.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 5.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 5.4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 5.4.3.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 5.4.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 5.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.4.3.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 5.4.3.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 5.4.3.5.5

指数を求めます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 5.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.4.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

ステップ 5.4.4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{16}}{4}$

ステップ 5.4.4.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 5.4.4.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

ステップ 5.4.4.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

ステップ 5.4.4.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5}} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

ステップ 5.4.4.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{4}$

ステップ 5.4.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.4.5.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.5.1.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2})}{4}$

ステップ 5.4.5.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.5.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.4.5.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.4.5.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$

ステップ 5.4.5.2

$\frac{\sqrt[3]{e^{1.5} \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\sqrt[3]{2 e^{1.5}}}{2}$

10進法形式：

$x = 1.03862931 \dots$

代数学準備 例

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